б) Верные неравенства одинакового смысла с отрицательными

частями можно перемножить, изменив знак неравенства на про-

тивоположный, и снова получим верное неравенство:

в) Верные неравенства противоположного смысла с положи-

тельными частями можно почленно разделить, сохранив знак пер-

вого неравенства:

Доказательство теоремы проведем для предложения б):

– по теореме 1.12.

5. Затем, по транзитивности отношения «больше» (свойство 3°),

имеем: ac > bd.

Доказательство предложений а) и б) проводится аналогично.

1.1.8. Выражения с переменной. Тождества

План

1.

2.

3.

4.

5.

Понятие выражения с переменной.

Множество значений переменной.

Тождественно равные выражения.

Тождественные преобразования выражений.

Тождество.

Содержание

1. Рассмотрим запись 3а + 5. Она образована из следующих сим-

волов и знаков математического алфавита: цифр 3 и 5, знака действия

56

57

2) Выражениепри x = 5 обращается в числовое выра-

жение, не имеющее смысла. При всех других действительных значениях

переменной х получаем числовое выражение, имеющее смысл. Таким об-

разом, область определения данного выражения есть множество всех дей-

ствительных чисел, кроме числа 5, то есть множество R\{5} или (–∞; 5)

(5; +∞).

3) Рассмотрим выражение. Оно обращается в числовое выра-

жение, имеющее смысл, при тех и только тех действительных значениях

у, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно,

областью определения данного выражения будет множество (–∞; 4).

Если выражение содержит две переменные х и у, то областью

определения такого выражения будет множество пар чисел (а, b) таких,

что при подстановке вместо х числа а, а вместо у числа b получим чис-

ловое выражение, имеющее смысл.

Выражение 2x + y обращается в числовое выражение, имеющее

смысл, при любых действительных значениях х и у, следовательно, его

областью определения является множество всех пар действительных

чисел, то есть множество.

В начальных классах учащиеся знакомятся с буквенными выраже-

ниями. Работа с ними сводится к подстановке вместо букв их значений

и вычислению значения получившегося числового выражения.

3. Возьмем два выражения с переменной 3(x + 2) и 3х + 6. Области

определения их равны и составляют все множество действительных чи-

сел R. Подставляя вместо х различные действительные числа, будем

58

не являются тождественно равными. При x = 0Выражения и

первое из них принимает значение, равное нулю, а второе не имеет смыс-

ла, так как его числовое значение не определено. Однако в области от-

личных от нуля чисел, то есть на множестве,

эти два выражения тождественно равны.

4. Определение 1.25. Переход от одного выражения к другому,

тождественно равному ему на данном множестве, называется

тождественным преобразованием выражения. Приведем примеры

тождественных преобразований.

1) Разложим на множители выражение:

.

Сначала разложим на множители разность квадратов. Это преоб-

разование приведет нас к выражению:

.

В свою очередь, каждый из полученных множителей является

квадратным трехчленом и при наличии действительных корней также

может быть разложен на множители.

59

трехчлен, очевидно,

и может быть представлен в виде

имеет

корни

Аналогично,. Таким образом, выра-

на основании указанных тождественных преобразо-жение

ваний может быть заменено произведением:.

2) Упростим выражение:

.

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим чис-

литель и знаменатель первой дроби на выражение, а числитель и

знаменатель второй дроби на выражение:

.

Однако здесь и всюду в дальнейшем необходимо помнить о том,

что все тождественные преобразования выполняются в области опреде-

ления преобразуемого выражения. В данном случае имеется в виду, что

1 - х и 1 + x не обращаются в нуль, в противном случае все рассматри-

ваемое выражение теряет смысл.

Далее, возвращаясь к полученному выражению, воспользуемся пра-

вилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

.

Применяя формулы сокращенного умножения, перепишем выра-

жение в виде:

.

5. После приведения подобных членов получим выражение

Выражения – тождественно равные.

60

1.1.9. Уравнения с одной переменной.

Равносильность уравнений

План

1. Определение уравнения.

2. Понятие решения уравнения.

3. Равносильность уравнений.

Содержание

1. Рассмотрим два выражения, из которых хотя бы одно содержит

переменную. Пусть это будут выражения. Соединив их зна-

ком равенства, получим предложение. Это предложение со-

держит переменную и при подстановке вместо переменной конкретных

числовых значений обращается в числовое равенство (высказывание)

истинное или ложное. Так приимеем 2 ∙ 1 + 7 = 9 ∙ 1 – истинное

высказывание, а при– ложное высказывание 2 ∙ 2 + 7 = 9 ∙ 2. Та-

ким образом, предложениеесть высказывательная форма

61

убеждаемся, что:

62

– на множестве рациональных чисел Q – три решения:

;

В дальнейшем, если не указано множество, на котором рассма-

тривается уравнение, то будем находить все его решения, принадле-

жащие множеству действительных чисел R.

3. Рассмотрим решение некоторых видов уравнений с одной пере-

менной.

I. Линейные уравнения. Уравнением первой степени с одной пере-

менной, или линейным уравнением с одной переменной, называется

уравнение вида. Здесь а 1 , b 1 , a 2 , b 2 – постоянные дей-

ствительные числа, некоторые из них могут быть равными нулю.

Для решения уравнения перенесем слагаемые из правой части в

левую, а затем (после приведения подобных членов и дополнительных

обозначений) получим уравнение видаили, здесь

,.

, то уравнение имеет единственное решение.Если

Если, то уравнение решений не имеет.

Если, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Действительно, решением уравненияявляется любое дей-

ствительное число.

В качестве примеров решим следующие уравнения.

1). Для решения уравнения выполним после-

довательно ряд тождественных преобразований, не нарушающих равно-

сильности. Раскроем скобки, приведем подобные члены и найдем х.

Решение.

63

Ответ: 0.

3)

Решение.

Ответ: решением уравнения является любое действительное число.

II. Квадратные уравнения. Уравнением второй степени с одной

переменной, или квадратным уравнением, называется уравнение вида:

Здесь a 1 , b 1 , c 1 , a 2 ,b 2 , c 2 – постоянные действительные числа,

причем

После переноса всех слагаемых в левую часть и приведения подоб-

ных членов уравнение приводится к виду:, где а, b, с –

действительные числа, причем.

Из школьного курса математики известно, что множество реше-

ний Т квадратного уравнения зависит от дискриминанта

1) Если

2) Если

3) Если

Далее рассмотрим решение некоторых уравнений, сводящихся

к квадратным.

64

Решение.

Областью допустимых значений данного уравнения является

множество. Умножив обе части уравнения на выражение:

в ОДЗ, получим:.

После тождественных преобразований придем к квадратному урав-

нению. Корнями этого уравнения будут числа 2 и 3.

Для исходного уравнения кореньбудет посторонним, так как он не

входит в ОДЗ. Действительно, кореньобращает знаменатель в нуль,

и выражения, стоящие в левой и правой частях исходного уравнения, те-

ряют смысл. Кореньдействительно удовлетворяет уравнению.

Ответ: {3}.

2. Решим уравнение:.

Решение.

ОДЗ уравнения является множество действительных чисел R. Пе-

регруппировав множители и частично раскрыв скобки, получим урав-

нение:равносильное данному.

, тогда уравнение примет видДалее введем обозначение

илиПоследнее уравнение имеет корни

65

Ответ:

III. Иррациональные уравнения. Уравнение называется иррацио-

нальным, если в нем некоторые выражения, содержащие переменную,

находятся под знаком корня.

Рассмотрим основные приемы решения таких уравнений.

1. При решении уравненияиспользуем прием

возведения в степень.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

после преобразований получим

последнего уравнения снова возведем в квадрат:

. Обе части

.После приведения подобных членов получим:

Это уравнение является следствием исходного и имеет корни

. Кореньудовлетворяет исходному уравнению, а

корень х 2 = 84 является посторонним.

Ответ: {4}.

2. Уравнение

ной.

Положим

вид:, откуда

дим два корня:

ющих двух уравнений:

, тогда

и исходное уравнение примет

решим методом замены перемен-

. Решая квадратное уравнение, нахо-

Теперь задача сводится к решению следу-

.

66

откуда

Из уравнения

находим корень

,

Корень

является

удовлетворяет исходному уравнению, а корень

посторонним.

.Ответ:

Решая иррациональные уравнения, следует помнить, что при воз-

ведении в четную степень получается уравнение, вообще говоря, не

равносильное исходному, а является его следствием. В результате сре-

ди корней находятся все корни исходного уравнения и, кроме того, мо-

гут быть посторонние корни. Поэтому при решении иррациональных

уравнений необходима проверка.

IV. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Что-

бы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля,

надо освободиться от знака модуля, используя его определение. На

практике при решении уравнений с модулем поступают так:

1) находят критические точки, то есть значения переменной, при

которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2) разбивают область допустимых значений переменной на про-

межутки, в каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля,

сохраняет знак;

3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без

знака модуля.

Объединение найденных решений составляет общее решение рас-

сматриваемого уравнения.

Рассмотрим решение уравнения с модулем на конкретном примере.

Решим уравнение:

Решение.

Найдем критические точки., отсюда.

Эти точки разбивают область определения уравнения

промежутка.

на три

67

Решаем уравнение на каждом полученном промежутке (см.

рис. 1.21).

1) х < - 3. На этом промежутке:,а. Уравнение по-

сле снятия знака модуля имеет следующий вид:

.

Уравнение выполняется при всех х из рассматриваемого проме-

жутка.

. На этом промежутке2)

принимает вид:

уравнение

.

Найденное значение х входит в рассматриваемый промежуток.

3)На этом промежутке:

носильно следующему:

, а уравнение рав-

.

Значениене входит в рассматриваемый промежуток.

Объединяя найденные решения, получим решение исходного

уравнения.

Ответ:

3. Для того, чтобы найти решения уравнения, его, как правило,

преобразовывают до тех пор, пока не получат уравнение, решения ко-

68

(1.1)

и

(1.2)

рассматриваемые на множестве X, называются равно-сильными,

если множества их решений равны.

Например, уравненияравно-

сильны на множестве действительных чисел R, так как множества их

решений {5, 3} и {3, 5} равны.

Определение 1.30. Уравнение (1.2) называется следствием урав-

нения (1.1), если каждое решение уравнения (1.1) является решением

уравнения (1.2).

Если при этом уравнение (1.2) имеет корни, не удовлетворяющие

уравнению (1.1), то для уравнения (1.1) они называются посторонними.

Таким образом, если при решении уравнения его заменили след-

ствием, то надо найти все корни уравнения – следствия, а затем сделать

проверку, подставив их в исходное уравнение. Посторонние корни

необходимо отбросить.

Очевидно, что уравнения (1.1) и (1.2) равносильны в том и только в

том случае, когда каждое из них является следствием другого. Вместо

данного уравнения можно решать уравнение, ему равносильное. Замена

одного уравнения другим, ему равносильным, множество решений кото-

рого легче найти, является основным приемом при решении уравнений.

Какие же преобразования позволяют получать уравнения, равно-

сильные данному?

Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы о равносильности

уравнений.

69

равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать и так:

Если к обеим частям уравнения с областью определения X при-

бавить одно и то же выражение с переменной, определенное на

том же множестве X, то получим новое уравнение, равносильное

данному.

Доказательство. Обозначим множество решений уравнения (1.1)

через Т 1 , а множество решений уравнения (1.3) через Т 3 . Чтобы убе-

диться в равносильности уравнений (1.1) и (1.3), достаточно показать,

что.

Пусть а – произвольное решение уравнения (1.1). Тогдаи

при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в верное числовое ра-

венство

жение

, а выражениеобращается в числовое выра-

. Далее, к обеим частям верного равенствапри-

. По свойству числовых равенств (тео-бавим числовое выражение

рема 1.1), получим верное числовое равенство fi(a)+g(a) = /2(а)+b(а). Но

это означает, что а является решением уравнения (1.3). В силу произ-

вольности выбора решения а можем утверждать: всякое решение урав-

нения (1.1) является решением уравнения (1.3), то есть.

Пусть теперь b – произвольное решение уравнения (1.3). Тогда

и при подстановке в уравнение (1.3) обращает его в верное чис-

ловое равенство. Из обеих частей этого равенства

вычтем числовое выражение. По свойству числовых равенств (тео-

рема 1.2), получим верное числовое равенство. Это озна-

чает, что b является решением уравнения (1.1).

70

(1.4)

равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать иначе.

Если обе части уравнения с областью определения X умно-

жить на одно и то же выражение с переменной, определенное на

том же множестве X и не обращающееся в нуль ни при каких зна-

чениях х из множества X, то получим новое уравнение, равносиль-

ное данному.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы

1.15, и мы предлагаем провести его самостоятельно. Из теоремы 1.16

также вытекает важное следствие.

Следствие 1.5. Если обе части уравнения умножить (или разде-

лить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим урав-

нение, равносильное данному.

Следует помнить, что если в процессе решения уравнения выпол-

нены преобразования, нарушающие равносильность уравнений, то

71

, сократим дробь на выражение2. Решая уравнение

х – 2, в результате чего получим уравнение, определенное для

любыхи имеющее корень. Исходное же уравнение было

определено на множестве R\ {2} и не имело на нем корней.

В начальном курсе математики рассматриваются лишь простей-

шие уравнения вида:

,

где а и b – целые неотрицательные числа, х – переменная.

Однако именно здесь у детей формируется понимание уравнения

как равенства, содержащего неизвестное число, значение которого надо

найти.

1.1.10. Неравенства с одной переменной.

Равносильность неравенств

План

1. Определение неравенства.

2. Решение неравенства.

3. Равносильность неравенств.

Содержание

1. Понятие неравенства с одной переменной вводится аналогично

понятию уравнения с одной переменной. Два выражения, из которых

72

(1.5)

и

73

рассматриваемые на множестве X, называются равносильными,

если множества их решений равны.

Например, неравенстваиравносильны, так

как их множества решений равны и составляют промежуток.

Определение 1.34. Неравенство (1.6) называется следствием не-

равенства (1.5), если каждое решение неравенства (1.5) является

решением неравенства (1.6).

Очевидно, что неравенства (1.5) и (1.6) равносильны в том и толь-

ко том случае, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности неравенств, а также следствия из них

по сути похожи на теоремы о равносильности уравнений. Доказатель-

ства их проводятся аналогично доказательствам теорем 1.15 и 1.16.

Теорема 1.17. Пусть неравенство (1.5) задано на множестве X

и- выражение, определенное на том же множестве.

Тогда неравенства

(1.5)

и

(1.7)

равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать иначе.

Если к обеим частям неравенства с областью определения X при-

бавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же

множестве X, то получим новое неравенство, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают важные следствия, часто используемые

при решении неравенств.

Следствие 1.6. Если к обеим частям неравенства

прибавить одно и то же число d, то получим неравенство

, равносильное данному.

74

(1.5)

(1.6)

равносильны на множестве X.

Эту теорему можно сформулировать и по-другому.

Если обе части неравенства с областью определения X умножить

на одно и то же выражение с переменной, определенное на том же

множестве X и большее нуля для всех значений х из множества X,

то получим новое неравенство, равносильное данному. Из этой теоремы

также вытекает важное следствие.

Следствие 1.8. Если обе части неравенства умножить (или

разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравен-

ства не изменится.

Теорема 1.19. Пусть неравенство (1.5) задано на множестве X

и– выражение, определенное на том же множестве, и для всех

. Тогда неравенства

(1.5)

(1.9)

равносильны на множестве X.

Доказательство. Обозначим множество решений неравенства

(1.5) через , а множество решений неравенства (1.9) через Т 9 . Пока-

жем, что.

Пусть а – произвольное решение неравенства (1.5). Тогда

– верное числовое неравенство, а– числовое выраже-

75