1.1.3. Числовые функции

План

1. Понятие функции.

2. Способы задания функции.

3. Свойства функций.

Содержание

1. Функция – одно из важнейших понятий математики, исходное

понятие ведущей ее области – математического анализа. В школьном

курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям.

Причиной этого является тесная связь математики с естественными

науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат

средством количественного описания различных зависимостей между

величинами.

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним

связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимо-

сти буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств

реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является

основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учи-

теля начальных классов определенных знаний о функции и ее свой-

ствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в

начальной школе пропедевтику понятия функции.

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

2) Заполни таблицу 1.1.

26

Уменьшаемое

Вычитаемое

Разность

5

0

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя

эти задания?

Прежде всего в каждом задании есть два числовых множества,

между которыми устанавливается соответствие. В первом – это множе-

ства {1, 3, 5, 7} и {2, 6, 10, 14}, а во втором – это множество значений

вычитаемого {0, 1, 2, 3, 4, 5} и множество значений разности {5, 4, 3, 2,

1, 0}. В чем сходство устанавливаемых между этими множествами со-

ответствий? И в первом, и во втором задании каждому числу из первого

множества сопоставляется единственное число из второго. В математи-

ке такие соответствия называют функциями. В общем виде понятие

числовой функции определяют так:

Определение 1.5. Числовой функцией называется такое соот-

ветствие между числовым множеством X и множеством R дей-

ствительных чисел, при котором каждому числу из множества X

сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f – функ-

ция, заданная на множестве X, то действительное число Y, соответству-

ющее числу х из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х).

Переменную х при этом называют аргументом (или независимой пере-

менной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества

X называют областью значений функции f.

2. В рассмотренном выше первом примере функция задана на

множестве X = {1, 3, 5, 7} – это ее область определения. А область зна-

чений этой функции есть множество {2, 6, 10, 14}.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необ-

ходимо указать, во-первых, числовое множество X, то есть область опре-

27

ция задана формулой y =

6

, то ее область определения есть множе-

x-2

ство R действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаме-

натель данной дроби обращается в нуль).

Числовые функции можно представлять наглядно на координатной

плоскости. Пусть у = f(х) – функция с областью определения X. Тогда ее

графиком является множество таких точек координатной плоскости, ко-

торые имеют абсциссу х и ординату f(х) для всех х из множества X.

Так, графиком функции у = 2х - 3, заданной на множестве R, явля-

ется прямая, а графиком функции у = х2, заданной также на множестве

R, – парабола (см. рис. 1.15).

Рис. 1.15

28

Рис. 1.16

Не каждое множество точек на координатной плоскости представ-

ляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении

аргумента из области определения функция

должна иметь лишь одно значение, то любая пря-

мая, параллельная оси ординат, или совсем не пе-

ресекает график функции, или пересекает его

лишь в одной точке. Если же это условие не вы-

Рис. 1.17полняется, то множество точек координатной

плоскости график функции не задает. Например, кривая на рисунке 1.17

не является графиком функции – прямая АВ, параллельная оси ординат,

пересекает ее в двух точках.

Функции можно задавать при помощи таблицы (см. табл. 1.2).

Например, таблица 1.2 описывает зависимость температуры воздуха от

времени суток. Эта зависимость – функция, так как каждому значению

времени t соответствует единственное значение температуры воздуха р.

29

3. Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмот-

рим одно из них – свойство монотонности, так как понимание этого свой-

ства учителем важно при обучении математике младших школьников.

Определение 1.6. Функция ƒ называется монотонной на некото-

ром промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или

убывает.

Определение 1.7. Функция f называется возрастающей на неко-

тором промежутке А, если для любых чисел x 1 , x 2 из множества А

выполняется условие:

График функции, возрастающей на промежутке А, обладает осо-

бенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по проме-

жутку А ординаты точек графика увеличиваются (см. рис. 1.18, а).

График функции, убывающей на промежутке А, обладает особен-

ностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку

А ординаты точек графика уменьшаются (см. рис. 1.18, б).

а)

Рис. 1.18

б)

30