рядка, заданное на множестве X, обладает свойством связанности, то

говорят, что оно линейно упорядочивает множество X.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с

помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» –

оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в

отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связанно-

сти. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натураль-

ных чисел линейно.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения экви-

валентности и отношения порядка. Существует огромное число отно-

шений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отноше-

ниями порядка.

В начальном курсе математики рассматриваются отношения

«столько же», «больше», «меньше», «больше на», «меньше на», «боль-

ше в», «меньше в». При изучении темы «Признаки предметов» перво-

классники знакомятся с отношениями «выше», «ниже». При изучении

темы «Длина отрезков» – «короче», «длиннее». Теоретической основой

для включения этого материала в начальный курс математики является

тот материал, который был рассмотрен выше.

1.1.2. Соответствия

План

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Понятие соответствия.

Способы задания соответствий.

Соответствие, обратное данному.

Понятие взаимно-однозначного соответствия.

Равномощные множества.

Счетные множества.

Содержание

Изучая окружающий мир, математика рассматривает не только его

объекты, но и, главным образом, связи между ними. Эти связи называют

18

зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например,

при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между

предметами и числами, которые являются значениями их длин; при ре-

шении задач на движение устанавливается зависимость между пройден-

ным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объек-

тами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о

том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность

любого соответствия, был поставлен в конце XIX – начале XX века,

и ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи

между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю

надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в мето-

дике изучения этих взаимосвязей.

1. Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном

курсе математики.

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными

выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое

число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь.

В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общего имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях имеются два множества: в первом –

это множество из трех числовых выражений и множество N натураль-

ных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором –

это множество из трех геометрических фигур и множество N натураль-

ных чисел; в третьем – это множество из трех уравнений и множество N

натуральных чисел.

19

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соот-

ветствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно,

при помощи графов.

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов,

находящихся в заданном соответствии:

I. {(в 1 , 4), (в 3 , 20)};

II. {(F 1 , 4), (F 2 , 10), (F 3 , 10)};

III. {(у 1 , 4), (у 2 , 11), (у 3 , 4)}.

Рис. 1.7

Полученные множества показывают, что любое соответствие

между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество

упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядо-

ченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим

к следующему определению общего понятия соответствия.

20

Определение 1.1. Соответствием между множествами X и Y

называется всякое подмножество декартова произведения этих

множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, R и др. Если S –

соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно опреде-

лению, S ⊂ Х х Y.

2. Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множе-

ствами. Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно за-

давать как любое множество, то есть либо перечислив все пары элемен-

тов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характери-

стическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответ-

ствие между множествами X = {1, 2, 4, 6} и Y = {3, 5} можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а < b при

условии, что а ∈ X, b ∈ Y;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декар-

това произведения Х х Y: {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому спо-

собу задания относят также задание соответствия при помощи графа и

графика (см. рис. 1.8).

Рис. 1.8

3. Нередко, изучая соответствие между множествами Х и Y, прихо-

дится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например,

S – соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10}

и Y = {2, 3, 6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как

на рисунке 1.9.

Соответствие, обратное данному, – это соответствие «меньше

на 2». Оно рассматривается между множествами Y и X, и, чтобы его

21

представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление

стрелок поменять на противоположное. Если соответствие «меньше на

2» обозначить S-1, то S-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)}.

Рис. 1.9

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S

с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассмат-

ривать как обобщение записей конкретных соответствий:

х = 2у; х > 3у + 1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот-

ветствия, обратного данному.

Определение 1.2. Пусть S – соответствие между множествами

Х и Y. Соответствие S-1 между множествами Y и X называется

обратным данному, ecлu yS-1x тогда и только тогда, когда хSу.

Соответствия S и S-1 называют взаимно-обратными. Выясним осо-

бенности их графиков.

Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (см.

рис. 1.10). При построении графика соответствия S-1 = {(2, 4), (3, 5),

(6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества

Y = {2, 3, 6}, а вторую – из множества X = {4, 5, 8, 10}. В результате

график соответствия S-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы

различать графики соответствий S и S-1, условились первую компоненту

пары соответствия S-1 считать абсциссой, а вторую – ординатой.

Например, если (5, 3) ∈ S, то (3, 5) ∈ S-1. Точки с координатами (5, 3)

и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно бис-

сектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики вза-

22

имно-обратных соответствий S и S-1 симметричны относительно

биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Рис. 1.10

Чтобы построить график соответствия S-1, достаточно изобразить

на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S от-

носительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

4. В математике изучают различные виды соответствий. Это не слу-

чайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире,

многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьни-

ков, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение 1.3. Взаимно однозначным соответствием между

множествами X и Y называется такое соответствие, при котором

каждому элементу множества X сопоставляется единственный

элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответ-

ствует только одному элементу множества X.

Рассмотрим примеры взаимно-однозначных соответствий.

Пример 1. Пусть Х – множество кружков, Y – множество квадратов

и соответствие между ними задано при помощи стрелок (см. рис. 1.11).

Рис. 1.11

23

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из

множества X сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каж-

дый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества X.

Пример 2. Пусть X – множество действительных чисел, Y –

множество точек координатной прямой. Соответствие между ними тако-

во: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой.

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительно-

му числу сопоставляется единственная точка координатной прямой, и

каждая точка на прямой соответствует только одному числу.

5. В математике взаимно-однозначное соответствие между множе-

ствами X и Y часто называют взаимно однозначным отображением

множества X на множество Y.

Понятие взаимно-однозначного соответствия позволяет опреде-

лить отношение равномощности множеств.

Определение 1.4. Множества X и Y называются равномощны-

ми, если между ними можно установить взаимно-однозначное со-

ответствие.

Если множества X и У равномощны, то пишут X - Y.

Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены

в примерах 1 и 2, равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные

множества. Равномощные конечные множества называют еще равно-

численными. В начальном обучении математике равночисленность вы-

ражается словами «столько же» и может использоваться при ознаком-

лении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы вве-

сти равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между

их элементами взаимно-однозначное соответствие. Например, пишут,

что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов.

Понятие равночисленности множеств лежит

и в основе определения отношений «больше на

...» и «меньше на ...». Например (см. рис. 1.12),

чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравни-

Рис. 1.12

24

вают два множества, устанавливая взаимно-однозначное соответствие

между множеством X, в котором 4 элемента, и подмножеством Y другого

множества У, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников

столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников

на 2 больше, чем кружков.

6. Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконеч-

ные множества. Приведем примеры таких множеств.

Пример 3. Пусть X – множество точек от-

резка АВ, Y – множество точек отрезка СD, при-

чем длины отрезков различны (см. рис. 1.13). Так

как между данными множествами можно устано-

вить взаимно-однозначное соответствие, то мно-

Рис. 1.13

жества точек отрезка АВ и СD равномощны.

Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество

Y четных натуральных чисел. Они равномощны, так как между их элемен-

тами можно установить взаимно-однозначное соответствие (см. рис. 1.14).

Рис. 1.14

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно

установить взаимно-однозначные соответствия между множеством и

его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Одна-

ко в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда

найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить

взаимно-однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают

определением бесконечного множества. Если бесконечное множество

равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным.

Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы прону-

меровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в

25