а
= bq
2
+
r 2
,
0 ≤ r
2
<
b.
Отсюда
bq
1
+
r 1
=
bq
2
+
r 2
,
или b(q
1
–
q 2
)
= r
1
–
r
2
.
Последнее ра-
венство
означает, что разность r
1
–
r
2
делится
на b.
Однако
по условию
0
≤ r
1
<
b,
0
≤ r
2
<
b
и
тем более r
1
–
r
2
<
b, но
в таком случае разность
r
1
–
r
2
на
b
делиться
не может. Полученное противоречие и
доказывает
единственность
деления с остатком.
Следует
заметить, что деление с остатком на
множестве целых
неотрицательных
чисел N
0
не
является алгебраической операцией,
так
как
каждой упорядоченной паре элементов
(a, b),
b ≠
0
ставится в соот-
ветствие
не один элемент из множества N
0
,
а два –
q
и
r.
Деление
с остатком изучается в начальном курсе
математики.
Здесь
очень важно обращать внимание учащихся
на то, что остаток все-
гда
должен быть меньше делителя. Именно на
делении с остатком ос-
нован
алгоритм деления многозначных чисел.
2.2.1.
Аксиоматическое построение системы
натуральных чисел
Задание
1
Установите
правильное соответствие учебных
заданий, направ-
ленных
на изучение натуральных чисел, их
функциям.
Учебные
задания
1.
Сколько квадратов на рисунке?
Функции
натурального числа
А.
Компонент вычислений.
2.
Каким по счету стоит квадрат, ес- Б. Мера
величины.
ли
считать фигуры справа налево?
1412.2. Самостоятельные работы
3.
Какой меркой измеряли этот от- В.
Характеристика порядка.
резок?
Как это проверить?
4.
Найди сумму чисел 5 и 2.
Г.
Количественная характери-
стика
множества предметов.
Ответ:
1 _________, 2__________, 3__________, 4_________.
Задание
2
Оцените
следующие высказывания:
1.
При счете и измерении всегда появляются
натуральные числа.
2.
При
счете и измерении появляются числа,
отличные от нату-
ральных.
3.
Счет
приводит только к натуральным числам,
а при измерении
появляются
числа, отличные от натуральных.
4.
Измерение
приводит только к натуральным числам,
а при счете
появляются
числа, отличные от натуральных.
Обведите
кружком номер истинного высказывания.
Задание
3
В
качестве основного понятия при
аксиоматическом построении
арифметики
натуральных чисел на непустом множестве
N
взято
отно-
шение:
1)
«предшествует»;
2)
«непосредственно
следует за»;
3)
«меньше»;
4)
«больше»;
5)
«равно»;
6)
другой
ответ.
Обведите
кружком номер правильного дополнения
высказывания.
Задание
4
142
В
определении натурального числа
используются аксиомы Пеано.
Выделите
их среди следующих высказываний:
1.
Единица не имеет предшествующего
натурального числа.
2.
В множестве N
существует
элемент, непосредственно не следу-
ющий
ни за каким элементом этого множества.
Будем называть его
единицей
и обозначать его символом 1.
3.
(∀a,
b
∈
N
)a
+
b
=
b
+
a
.
4.
Для каждого элемента а
из
N
существует
единственный элемент
а',
непосредственно
следующий за а.
5.
Каждое натуральное число а,
отличное
от 1, имеет предшеству-
ющее
число b,
такое,
что b'
= а.
6.
Для каждого элемента а
из
N
существует
не более одного эле-
мента,
за которым непосредственно следует а.
7.
Всякое подмножество М
множества
N,
обладающее
свойствами:
1)
1
∈
M
;
2)
из того, что а
содержится
в М,
следует,
что и а'
содер-
жится
в М,
–
совпадает
с множеством N.
Задание
5
Моделями
системы аксиом Пеано являются множества:
1.
{Один,
два, три, четыре, пять, шесть, …}.
2.
1, 2, 3, 4, 5, … .
3.
{*, **, ***, ****, *****,…}.
4.
{0, 000, 00, 0000, 00000,…}.
5.
{□□, □□□,
□□□□, □□□□□,…}.
6.
{○○○, ○○○○,
○○○○○, ○○○○○○, }.
7.
{☼, ☼☼,
☼ ,☼☼, ☼, ☼☼, ☼, ☼☼, ☼, ☼☼,…}.
Обведите
кружками номера правильных ответов.
Задание
6
Установите
правильное соответствие множества
аксиоме, которая
не
выполняется на данном множестве:
МножестваАксиомы
1.А.
Для каждого элемента а
из
N
143
существует
единственный элемент
а',
непосредственно
следующий за
а.
2.
Б.
Для каждого элемента а
из
N
существует
не более одного эле-
мента,
за которым непосредственно
следует
a.
3.
В.
В множестве N
существует
эле-
мент,
непосредственно не следую-
щий
ни за каким элементом этого
множества.
Будем называть его
единицей
и обозначать символом 1.
Г.
Всякое подмножество М
множе-
ства
N,
обладающее
свойствами:
1)
1
∈
M
;
2)
из того, что а
содержит-
ся
в М,
следует,
что и а'
содержится
в
М,
–
совпадает
с множеством N.
Ответ:
1 _________, 2__________, 3__________.
Задание
7
Дополните
следующее высказывание: «Множество N,
для
элемен-
тов
которого установлено отношение
_____________________________
______________________________________________________________
____________________________________________________________,
удовлетворяющее
аксиомам 1-4, называется________________________
_____________________________________________________________,
144
а
его элементы –
натуральными
числами».
Задание
8
Натуральный
ряд чисел является стандартной моделью
системы
аксиом
Пеано. Натуральный ряд начинается с
числа 1.
Сформулируйте
аксиому, которая раскрывает данное
свойство
натурального
ряда чисел:______________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Задание
9
За
каждым натуральным числом непосредственно
следует един-
ственное
натуральное число.
Сформулируйте
аксиому, которая отражает данное
свойство нату-
рального
ряда чисел: ________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Задание
10
Установите
правильное соответствие свойства
натурального ряда
чисел
аксиоме, раскрывающей данное свойство.
СвойстваАксиомы
1.
Каждое натуральное число A. Всякое
подмножество М
непосредственно
следует не бо- множества N,
обладающее
свой-
лее
чем за одним натуральным ствами: 1) 1
∈
M
;
2)
из того, что
числом.а
содержится
в М,
следует,
что
и
а'
содержится
в М,
–
совпадает
с
множеством N.
2.
Начиная с числа 1 и переходя Б Для каждого
элемента а
из
N
по
порядку к непосредственно существует
не более одного эле-
следующим
друг за другом мента, за которым непосред-
натуральным
числам, получаем ственно следует а.
все
множество этих чисел.
B.
Для каждого элемента а
из
N
существует
единственный эле-
мент
а',
непосредственно
следу-
ющий
за а.
145