(∀a, b, c ∈ N 0 )((ab )c = a(bc ))

Доказательство. Пусть а и b – произвольно выбранные числа.

1. При с = 0 имеем (аb) 0 = а(b • 0). Действительно, (аb) • 0 = 0 и

а (b • 0) = a • 0 = 0.

2. Предположим, что равенство справедливо для некоторого про-

извольного с, то есть (аb)с = а(bс).

3. Основываясь на предположении, покажем, что (аb)с' = а(bс').

(аb)с' = (аb)с + ab = a(bc) + ab = a(bc + b) = a(bc').

Так как а и b были выбраны произвольно, то теорема справедлива

для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.

Теорема 2.10. (Закон монотонности умножения)

(∀a, b, c ∈ N 0 )(a = b ⇒ ac = bc )

Доказательство. Пусть а и b – произвольно выбранные числа из

множества N 0 .

1. При с = 0, a = b => a • 0 = b • 0 по аксиоме 2.7 умножения.

2. Пусть a = b => aс = bс для некоторого произвольно выбранного

числа с.

3. Покажем, что a = b => aс' = bс'.

По предположению a = b => aс = bс. Отсюда, пользуясь теоремой

2.5, можно записать aс + а = bс + b, а по аксиоме 2.8 умножения это

означает, что ас' = bс'. Итак, a = b => aс' = bс'. Поскольку выполнены

все условия метода математической индукции, то справедливость тео-

ремы доказана.

2.1.4. Свойства множества целых неотрицательных чисел

План

1. Отношение порядка на множестве целых неотрицательных чисел.

2. Свойства монотонности сложения и умножения.

Содержание

128

(a < b ) ⇔(∃k ≠ 0)(a + k = b )

Если число а меньше числа b, то говорят также, что b больше а и

пишут b > a.

Для обозначения дизъюнкции а < b ∨ а = b используют символ a ≤

b. Аналогично символ a ≥ b заменяет дизъюнкцию а > b ∨ a = b.

Неравенства a ≤ b и a ≥ b называются нестрогими.

Непосредственно из определения вытекает справедливость следу-

ющей теоремы.

Теорема 2.11. (∀a ∈ N 0 )(a < a′)

Доказательство. Так как а + 1 = а', то, положив в определении

4 k = 1, получим а < а'.

Из теоремы 11 вытекают важные следствия.

Следствия:

1. 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ....

2. 0 – наименьшее число в N 0 .

3. 1 – наименьшее число в N.

Теорема 2.12. Для любых целых неотрицательных чисел а и b

имеет место точно одно из трех соотношений: а < b, a = b, b < а.

Доказательство существования. Пусть а выбрано произвольно.

1. Если b = 0, то для а = 0 имеем а = b, а для a ≠ 0 будет b < а

по следствию 2.3 из теоремы 2.11.

2. Предположим, что для некоторого произвольно выбранного

Df

b ∈ N 0 выполняется одно из условий: а < b, а = b, b < а.

3. Пользуясь предположением, докажем, что для b' либо а < b', ли-

бо а = b', либо b' < а.

Действительно, если а < b, то по определению 2.4 a + k = b, где

k ≠ 0. По теореме 2.5 можем записать (a + k) + 1 = b + 1. Но b + 1 = b',

129

(∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ∧ b < c ⇒ a < c )

Доказательство. а < b => (∃ k ≠ 0)(a + k = b); b < c => (∃ l ≠ 0)

(b + l = c).

Из двух последних равенств можем записать: (a + k) + l = с, или

a + (k + l) = с, а это означает, что a < с.

Итак, введенное на множестве N 0 бинарное отношение «меньше»

по теоремам 2.12 и 2.13 обладает свойствами асимметричности, транзи-

130

m ∈ N 0 такое, что m' = h . Тогда k + h = k + m' = 1, а по аксиоме 2.6 сло-

жения k + m' = (k + m)' = 1. Следовательно, k + m = 0 , а это невозможно

при k ≠ 0. Значит, теорема доказана.

Свойство, выраженное теоремой 2.14, называется свойством дис-

крептивности.

Теорема 2.15. Любое непустое подмножество множества N 0

содержит наименьшее число.

Доказательство. Пусть множество М таково, что M ⊂ N 0 и M ≠ 0.

Рассмотрим два случая.

I. Множество М состоит из конечного числа элементов. В этом

случае доказательство теоремы проводим методом математической ин-

дукции по числу элементов.

1. Если М состоит из одного элемента (М = {а}), то этот элемент

и будет наименьшим из чисел, входящих в М.

2. Предположим, что теорема справедлива для множества М, со-

держащего некоторое конечное число элементов п. Другими словами,

считаем, что всякое множество M ⊂ N 0 , состоящее из п элементов, со-

держит наименьшее число.

3. Пользуясь предположением, докажем, что множество M ⊂ N 0 ,

состоящее из п + 1 элементов, также содержит наименьшее число.

Выберем произвольный элемент a ∈ M и рассмотрим множество

М0 = М \ {а}. Множество М0 состоит из п элементов, а значит, по предпо-

ложению в нем найдется наименьшее число, которое обозначим через b.

Так как a ∉ M 0 , а b ∈ M 0 , то a ≠ b, но тогда по теореме 2.12 из двух чисел

131

множество М на две части: M 1 = {x x ∈ M , x ≤ n} и M 2 = {x x ∈ M , x > n}.

Множество М 1 состоит из конечного числа элементов (их не более, чем

п + 1), а значит, по первой части теоремы, в нем содержится наимень-

шее число, которое обозначим через m. Итак, для любого x ∈ M 1 имеем

m ≤ x. В частности, m ≤ n. Но тогда, учитывая определение множества

М 2 , приходим к выводу, что m – наименьшее число во всем множестве

М. Теорема полностью доказана.

Свойство множества N 0 , выраженное доказанной теоремой, назы-

вается принципом наименьшего числа.

Аналогично может быть доказан принцип наибольшего числа.

Теорема 2.16. Если М – непустое подмножество множества

натуральных чисел и существует такое число а, что для всех чисел

х из М выполняется неравенство х < a, во множестве М есть

наибольшее число.

2. Рассмотрим свойства, связывающие отношение порядка с опе-

рациями сложения и умножения.

Теорема 2.17. (Свойства монотонности сложения и умножения)

1. (∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ⇒ a + c < b + c ) .

2. (∀a, b, c ∈ N 0 c ≠ 0)(a < b ⇒ ac < bc ) .

Доказательство. 1. Так как а < b, то a + k = b , где k ≠ 0. По тео-

реме 2.5 можем записать равенство a + k + с = b + c, откуда по законам

коммутативности и ассоциативности сложения имеем (а + с) + k = b + с.

Последнее равенство означает, что a + с < b + с.

2. Если а < b, то a + k = b, k ≠ 0 . Пользуясь теоремой 2.10, при с ≠ 0

получим (a + k)c = bс. Далее по дистрибутивному закону aс + kс = bс,

kc ≠ 0, а это означает, что ас < bс, и теорема доказана.

132

2) (∀a, b, c ∈ N 0 c ≠ 0)(ac = bc ⇒ a = b ) ;

3) (∀a, b, c ∈ N 0 )(a + c < b + c ⇒ a < b ) ;

4) (∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ⇒ a + c < b + c ) ;

5) (∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d ) ;

6) (∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd ) .

Предложения 1-4 являются утверждениями, обратными для теорем

2.5, 2.10 и 2.17.

Доказательство. Убедимся, например, в справедливости предло-

жений 3 и 6.

Пусть a + c < b + c, если предположить, что a = b, то по теореме

2.5 a + c = b + c. Из неравенства b < а по теореме 2.17 следовало бы

b + c < a + c. Таким образом, оба предположения (а = b и b < a) ведут

к противоречию с условием теоремы. Значит, а < b.

Согласно утверждению 6 имеем неравенства a < b и с < d. Рас-

смотрим два случая:

а) c ≠ 0, тогда, учитывая, что b ≠ 0, по свойству монотонности

умножения (теорема 2.17) получаем ас < bс и bc < bd, откуда по свой-

ству транзитивности ас < bd.

б) с = 0, тогда (поскольку b ≠ 0 и d ≠ 0) имеем bd > 0, а значит,

ac = 0 < bd. Итак, предложение 6 полностью доказано.

Остальные утверждения доказываются аналогично.

Следует заметить, что утверждения 3-6 верны и для нестрогих не-

равенств.

Теорема 2.19. Для любых натуральных чисел а и b существует

натуральное число n такое, что nb > a.

Доказательство. Рассмотрим число п = а', следующее за а. Как

доказано в следствии из определения 2.2 и теореме 2.11, п = a +1 > a.

133