1.1.11. Решение неравенств с одной переменной

План

1.

2.

3.

4.

Линейные неравенства.

Квадратные неравенства.

Метод интервалов.

Неравенства с модулем.

Содержание

76

Для решения неравенства перенесем с противоположными знака-

в левую, а слагаемое b 1 – в правую части неравен-ми слагаемое

, которое послества. В результате получим неравенство

введения новых обозначений запишется в виде:

(1.10)

Рис. 1.22

Если, то, разделив обе части неравенства на а, получим,

то есть решением неравенства является любое действительное число,

большее чем

. Все множество решений представляет собой интервал

(рис. 1.22).

Если а < 0, то, разделив обе части неравенства (1.10) на а и поме-

. В этом слу-няв знак неравенства на противоположный, получим

чае решением неравенства (1.10) является любое действительное число,

меньшее, чем

. Множество решений представляет собой интервал

(рис. 1.22).

и, то решением неравенства (1.10) является лю-Если

бое действительное число, а множество всех решений есть множество R

всех действительных чисел.

77

Рис. 1.23

2. Квадратные неравенства. Неравенством второй степени с од-

ной переменной, или квадратным неравенством, называется неравен-

ство вида:, где– постоянные

.действительные числа, причем

Вместо знака в неравенстве может стоять любой из знаков: ,

.

После несложных преобразований и введения новых обозначений

это неравенство приводится к виду:.

Выражениеназывается квадратным трехчленом.

Общность рассуждений не нарушится, если будем считать, что

. Этого легко можно добиться умножением обеих частей неравен-

ства на -1 и изменением знака неравенства на противоположный.

Уже отмечалось, что наличие или отсутствие действительных

корней квадратного трехчленазависит от дискриминанта.

1. Если, то трехчлен имеет два различных корня x 1 и х 2

в интервалах.(рис. 1.24)

78

2. Если

Рис. 1.25

, то трехчлен имеет два равных корня

в интервалахи.(рис. 1.25).

, то трехчлен не имеет действительных корней и при3. Если

всех значениях х сохраняет знак старшего коэффициента а, то есть

тождественно (рис. 1.26).

Теперь рассмотрим неравенство, где.

(рис.1. Если D > 0, то неравенство выполняется в интервале

1.25).

2. Если, то неравенство не выполняется ни при каком значе-

нии х (рис. 1.25).

3. Если, то неравенство также не выполняется ни при каком

значении х (рис. 1.26).

79

В качестве примеров решим следующие неравенства.

1. Решить неравенство:.

Решение.

Следовательно, данное неравенство выполняется на объединении

интервалов.

.2. Решить неравенство:

Решение.

Поскольку коэффициент при х2 отрицателен, умножим обе части

неравенства на число -1, изменив при этом знак неравенства на проти-

воположный. Получим неравенство, в котором коэффи-

циент при х2 положителен. Далее найдем дискриминант: D = b2 – 4ac =

= 25 – 8 = -23 < 0. Значит, неравенство не имеет решений.

3. Метод интервалов. Для решения неравенств с одной перемен-

ной более высоких степеней применяют прием, называемый методом

интервалов. Этот метод заключается в следующем.

Пустьи– выражения, содер-

жащие переменную х в первой степени, определены на всей числовой

прямой и обращаются в нуль в различных точках. Занумеруем точки, в

которых эти выражения обращаются в нуль, в порядке возрастания:

. Таким образом, в каждой из этих точек одно из указанных

выражений обращается в нуль и при этом. Эти

точки разбивают числовую прямую наинтервалов:

.

Выражение, очевидно, сохраняет постоянный знак

на каждом из этих интервалов, а при переходе от каждого интервала к

следующему меняет знак на противоположный. Это обстоятельство со-

ставляет основу метода интервалов и часто применяется при решении

неравенств.

80

,

где n 1 , n 2 , ..., n k , m 1 , m 2 , ..., m i – натуральные числа. Исследование знака

такого выражения также не представляет труда. Если n i – четное число,

то выражениеположительно всюду, кроме точки, в которой оно

обращается в нуль, и поэтому при определении знака всего выражения

может не учитываться. Если же число n i нечетно, то выражение

. Аналогично можно рассмотреть и другиеимеет тот же знак, что и

множители в числителе и знаменателе. Поэтому при определении знака

выражения нужно учитывать лишь множители, имеющие нечетные по-

казатели.

Рассмотрим примеры.

1. Решить неравенство:.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого

найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в числителе. Очевидно,

это будут числа 1 и 2. Тогда. Аналогично,

числа 3 и 4 будут корнями квадратного трехчлена, стоящего в знамена-

.теле, и, следовательно,

. Послед-Неравенство можно переписать в виде

нее неравенство решим методом интервалов. Для этого на числовой

прямой отметим точки: 1; 2; 3; 4, при переходе через которые выраже-

ние, стоящее в левой части, меняет знак на противоположный. Через

отмеченные точки проведем «кривую знаков», то есть волнообразную

линию, начиная справа сверху, как показано на рисунке 1.27. Вся чис-

ловая прямая разбилась на 5 промежутков. Самый первый из них (4;

81

Рис. 1.27

Те

промежутки,

на

которых

выполняется

неравенство

, помечены знаком «+», а те промежутки, на которых

, – знаком «–».

Ответ: (1; 2)U(3; 4).

2. Решить неравенство:.

Решение.

В левую часть неравенства входит множитель (х + 2)3. Знак выра-

жения не изменится, если его заменить множителем (х + 2). Кроме того,

множитель (х – 1) входит в числитель и знаменатель дроби, а значит,

при переходе через точку х = 1 выражение не изменит знака. Множите-

ли х2 и (х – 3)4 всегда положительны, кроме точек х = 0 и х = 3, где они

обращаются в нуль. Таким образом, при переходе через эти точки вы-

ражение, стоящее в левой части неравенства, тоже не изменит знака.

Теперь на числовой прямой отметим точки, в которых левая часть

неравенства обращается в нуль или не имеет смысла. Это будут точки:

-2; -1; 0; 1; 2; 3. При переходе через точки 0; 1; 3 выражение, стоящее

в левой части неравенства, не меняет знак. При переходе же через точ-

ки -2; -1; 2 меняет знак на противоположный. Учитывая все это, прово-

дим кривую знаков, как показано на рисунке 1.28.

Поскольку неравенство содержит знак ≥, то при записи ответа

необходимо учесть точки, в которых выражение, стоящее в левой части

82

Ответ:

.

Рис. 1.28

4. Неравенства с модулем. Решение неравенств, содержащих пе-

ременную под знаком модуля, выполняется аналогично решению урав-

нений с модулем. Рассмотрим это на конкретном примере.

Решить неравенство: |2x – 1| – |x – 2| ≥ 4

Решение.

Найдем критические точки: 2х – 1 = 0

Они разбивают числовую прямую

(см. рис. 1.29).

на

три

промежутка:

Рис. 1.29

Пусть. На этом промежутке 2x – 1 < 0 и x – 2 < 0.

Неравенство после снятия знака модуля имеет вид -2x + 1 + x – 2 ≥ 4,

откуда –x ≥ 5 или x ≤ –5 (рис. 1.30).

Рис. 1.30

83