Г. Коммутативное свойство умножения.

Д. Дистрибутивное свойство умножения от-

носительно сложения и коммутативное

свойство умножения.

Ответ: 1 _______, 2 ________, 3 ________, 4 _________.

Задание 9

Рассмотрите учебное задание: «Не выполняя умножения, сравните

значения выражений 70 • 32 + 9 • 32 ... 30 • 79 + 2 • 79».

Дополните высказывание: «Теоретической основой математиче-

ских обоснований учащихся выступает____________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

____________________________________________________________».

Задание 10

Оцените высказывание: «Теоретической основой нахождения про-

изведения

7234

× __6

43404

является дистрибутивное свойство умножения относительно сло-

жения».

1. Верно.

2. Неверно.

Обведите кружком номер правильного ответа.

Предельно допустимое время тестирования – 20 минут.

2.2.5. Деление

Задание 1

Дополните высказывание: «Делением натуральных чисел а и b

называется операция, удовлетворяющая условию: _______________ –

тогда и только тогда, когда ___________________________________»

155

Задание 3

Выбрав в качестве теоретической основы вычислений значения

выражения правило деления суммы на число, ученик выполнил следу-

ющие преобразования:

954:18 =_________________________________________________.

Задание 4

Для вычисления значения выражения 882 : 18 ученик применил

правило деления разности на число.

Запись ученика:_______________________________________.

Задание 5

Дополните высказывание: «Для обоснования действий при вычис-

лении значения выражения (560 • 32) : 16 ученик использовал правило

____________________________________________________________

____________________________________________________________

и выполнил следующую запись: ________________________________

__________________________________________________________» .

156

3.1. Лекционный материал

3.1.1. Построение системы натуральных чисел

на основе теории множеств

План

1. Из истории возникновения понятия натурального числа.

2. Понятие натурального числа и нуля.

3. Счет. Порядковые и количественные числа.

4. Отношения «равно», «меньше» и «больше» на множестве целых

неотрицательных чисел.

Содержание

1. Понятие натурального числа, как и многие другие математиче-

ские понятия, возникло из практических потребностей людей и склады-

валось постепенно. Основной причиной, приведшей человека к созда-

нию натуральных чисел, явилась необходимость сравнивать различные

конечные множества по количеству элементов.

В ходе развития понятия натурального числа можно выделить не-

сколько этапов.

На первом этапе, в глубокой древности, сравнение множеств по ко-

личеству элементов проводилось путем непосредственного установления

взаимно-однозначного соответствия. Так было при дележе добычи, рас-

пределении оружия и во многих других ситуациях. Однако такой путь

сравнения пригоден лишь для множеств, расположенных рядом, и непри-

емлем для случая множеств, отдаленных во времени и пространстве.

Поэтому на следующем этапе развития для этих целей человек

стал применять «множества-посредники».

Для множеств с небольшим числом элементов такими посредниками

чаще всего были пальцы. Так, о численности множества из пяти элемен-

157

158

159

символом 1, то есть т(А * ) = 1.

Присоединим к множеству A * элемент, не содержащийся в нем,

тогда получим множество A ** , неравночисленное A * и содержащее A * в

/качестве подмножества: A* ⊂ A** ; A** ~ A * . Назовем численность мно-

жества A ** числом «два» и обозначим символом «2», то есть т(А **) = 2.

Продолжая описанный процесс последовательного присоединения

новых элементов к предыдущим множествам, получим бесконечную

последовательность неравночисленных между собой множеств, нахо-

дящихся в отношении включения.

/Действительно, 0 ⊂ A* ⊂ A** ⊂ A*** ⊂ .

Численности этих множеств составят расширенный ряд натураль-

ных чисел, обозначаемых символами 0, 1, 2, 3, ... .

В дальнейшем расширенный ряд натуральных чисел будем обозна-

чать символом N0 и называть множеством целых неотрицательных чисел.

3. В аксиоматической теории натуральное число рассматривается

как элемент специального множества, представляющего собой беско-

нечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первое

число (первый элемент) и следующие за ним числа расположены в

определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рас-

сматривает натуральное число как число порядковое.

В количественной теории натуральное число понимается как ко-

личественная характеристика конечного множества.

Выясним, как же связаны между собой эти два различные смысла

натурального числа. С этой целью рассмотрим процесс счета и предме-

тов. Пусть, например, требуется сосчитать элементы множества А,

представленного на рисунке 3.1.

160

Рис. 3.1

Однако в процессе счета мы не только нашли количественную ха-

рактеристику множества, но и упорядочили его. Про элемент, которому

соответствует число один, можно сказать «первый», про элемент, кото-

рому соответствует число «два», – «второй», затем – «третий», «четвер-

тый», «пятый».

Во втором случае натуральное число представляет собой порядко-

вый номер некоторого элемента и поэтому называется порядковым

натуральным числом.

В общем случае, ведя счет, важно соблюдать следующие требования:

1) начинать счет можно с любого элемента множества А;

2) ни один элемент множества А не должен быть пропущен;

3) ни один элемент множества А не должен быть сосчитан дважды;

4) первым при счете называется число «один»;

5) числа, используемые при счете, следуют одно за другим без

пропусков.

При соблюдении указанных требований после окончания счета

между множеством А и некоторым подмножеством натурального ряда

161

1∈ Na .

Докажем это. Поскольку а число натуральное, то а не может быть

меньше 1.

Если а = 1, то имеем отрезок N 1 = {1}, и 1 ∈ N1 .

Если a > 1, то 1 < а и, значит, 1 содержится в отрезке N a .

2. Если число b принадлежит отрезку N a и b ≠ а, то число b + 1

также принадлежит отрезку N a .

(∀b ∈ N a )(b ≠ a ⇒ b + 1 ∈ N a ) .

Доказательство. Поскольку b ∈ N a , то по определению 3.3 имеем

b < а, тогда по определению 3.4 существует такое натуральное число k,

что а = b + k.

Если k = 1, то b + 1 = а и, значит, b + 1 ∈ N a .

Если k > 1, то k – 1 – натуральное число. Тогда запись a = b + k =

(b + 1) + (k – 1) означает, что b + 1 < а, то есть (по определению 3.4)

b + 1∈ N a .

3. Всякое непустое конечное множество взаимно-однозначно

отображается на один и только один отрезок натурального ряда.

162

a=b

⇔

Df

А ~ В, где а = т(А), b = т(В).

Из свойств отношения равномощности конечных множеств выте-

кают аналогичные свойства отношения равенства целых неотрицатель-

ных чисел:

163

2. (∀a, b ∈ N 0 )(a = b ⇒ b = a ) – симметричность;

3. (∀a, b, c ∈ N 0 )(a = b ∧ b = c ⇒ a = c ) – транзитивность.

Таким образом, отношение равенства целых неотрицательных чи-

сел является отношением эквивалентности.

Пусть теперь А ~ В, тогда множества А и В принадлежат различным/

классам эквивалентности и соответствующие им числа не равны, a ≠ b.

Если множество А равномощно собственному подмножеству В 1

множества В, то говорят, что число а меньше числа b, и записывают

a < b. В этом случае говорят также, что число b больше числа а, и запи-

сывают b > а. Таким образом,

a < b ⇔ A ~ B1 , где B1 ⊂ B ∧ B1 ≠ B ∧ B1 ≠ 0 .

Df

Отношение «меньше» обладает рядом свойств.

1. (∀a ∈ N 0 ) a < a – антирефлексивность.

Справедливость этого свойства вытекает из того, что конечное

множество не может быть равномощно собственному подмножеству.

2. (∀a, b ∈ N 0 ) a < b ⇒ b < a – асимметричность.

Справедливость этого свойства вытекает из следующих рассужде-

ний: если конечное множество А равномощно собственному подмноже-

ству множества В, то множество В не может быть равномощно никако-

му собственному подмножеству множества А, так как в противном слу-

чае мы получили бы, что А равномощно некоторой своей собственной

части, что противоречит конечности множества А.

3. (∀a, b, c ∈ N 0 )(a < b ∧ b < c ⇒ a < c ) – транзитивность.

Это свойство вытекает из транзитивности отношения строгого

включения для множеств ( A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C ).

Из свойств 1-3 следует, что отношение «меньше» определяет на

множестве целых неотрицательных чисел N 0 строгий порядок, который

является линейным в силу свойства связности; если a ≠ b, то либо а < b,

либо b < а.

164

(

)

(

)