В
начальном курсе математики сложение
целых неотрицательных
чисел
вводится на конкретных примерах и
задачах, решение которых
связано
с необходимостью объединять рассматриваемые
множества и
пересчитывать
элементы в полученном объединении. «На
одной тарел-
ке
лежало 3 красных яблока, а на другой –
2
зеленых. Сколько яблок
лежало
на двух тарелках?»
План
1.
Понятие
разности целых неотрицательных чисел.
2.
Существование
и единственность разности.
3.
Связь
между операциями вычитания и сложения.
Содержание
1.
Выясним теоретико-множественный смысл
разности целых не-
отрицательных
чисел.
С
этой целью рассмотрим множества А
=
{х, y,
z, t, p, r, s}
и
B
= {t,
p,
r, s}. Если
удалить В
из
А,
то
останется множество A\B
=
{х,
y,
z}, являющееся
дополнением множества В
до
множества А
(на
рис. 3.3 оно заштриховано). Полученное
множество состоит из трех
элементов.
Из приведенного примера видно, что если
т(А)
=
7,
т(В)
=
4 и B
⊂
А,
то
7 –
4
= 3, где 3 = т(А\В)
=
т(
B
A
).
То есть разность
чисел
7 и 4 является числом элементов в
дополнении множества В
до
множества
А.
Это
наблюдение и положено в основу определения
разно-
сти
целых неотрицательных чисел в
количественной теории.
1683.1.3. Разность целых неотрицательных чисел
Рис.
3.3
Определение
3.6. Разностью
целых неотрицательных чисел а и
b
называется целое неотрицательное число
a – b, равное числу эле-
ментов
в дополнении множества В до множества
А при условии,
что
т(А) = а, т(В) = b и В ⊆
А
.
Действие,
с помощью которого находится разность
чисел а
и
b,
называется
вычитанием.
Записывают
а
– b = с.
Теорема
3.2. Разность
целых неотрицательных чисел а и b су-
ществует
и единственна тогда и только тогда,
когда b ≤ а.
a
−
b
=
m(
A
\
B
)
,
где а
= т(А), b = т(В), В ⊆
А.
Df
(∀a,
b
∈
N
0
)(∃!c
∈
N
0
)(c
=
a
−
b
⇔
b
≤
a
).
Доказательство
теоремы
состоит из следующих трех этапов:
I.
Необходимость
условия существования разности.
II.
Достаточность
условия существования разности.
III.
Единственность
разности.
I.
Докажем,
что если разность с
= а – b существует,
то b
≤ а. Так
как
c
∈
N
0
,
то возможны два случая: с
=
0 или с
>
0.
/1.
Пусть
с
=
0, то есть m(А\В)
=
0, но тогда А\В
= 0
,
а так как
по
определению 3.6 разности чисел В
⊆
А,
то
это означает, что А
= В.
Следовательно,
т(В)
=
т(А),
то
есть b
= а .
/2.
Пусть
с
>
0, то есть m(А\В)
> 0.
Тогда А\В
≠ 0
и,
значит, В
⊂
А.
Поскольку
множества А
и
В
конечны,
то в этом случае т(В)
<
т(А),
то
есть
b
< а.
Объединяя
случаи 1 и 2, заключаем, что b
≤ а, и
необходимость
условия
существования разности доказана.
II.
Докажем
достаточность условия b
≤ а для
существования раз-
ности
а
– b.
Пусть
b
≤ а. Здесь
также возможны два случая: b
= а; b < а. Пока-
жем,
что в каждом из этих случаев существует
целое неотрицательное
число
с,
равное
а
–
b.
169
1.
Пусть b
=
а.
Тогда
по определению целого неотрицательного
числа
имеем т(В)
=
т(А),
где
А
и
В
– конечные
множества. При выпол-
/нении
условия В
⊆
А
это
означает, что В
= А. Следовательно,
А
\ В =
0
и
m(А\В)
=
0. По определению разности имеем а
– b =
m(А\В)
=
с
=
0.
Тем
самым доказано существование числа с
= 0,
и такого, что а
– b = с.
2.
Пусть b
<
а,
то
есть т(В)
< т(А). В
этом случае (при выполне-
/нии
условия В
⊆
А)
имеем
В
⊂
А,
и,
значит, А\В
≠ 0
.
Тогда
m(А\В)
> 0,
или
а
–
b
=
m(А\В)
= с> 0.
Итак,
существование разности доказано.
III.
Докажем
единственность разности. Для этого
наряду с множе-
ствами
А
и
В
такими,
что т(А)
= а, т(В) = b и
В
⊆
А,
рассмотрим
ко-
нечные
множества А
1
и
B
1
из
соответствующих классов эквивалентно-
сти,
то есть А
1
~
A, B 1
~
В и,
кроме того, B
1
⊆
А
1
.
Для доказательства
единственности
разности достаточно показать, что А
1
\B
1
~
A\B.
Доказательство
этого факта проведем методом от
противного.
Пусть
А
1
\B
1
~
A\B.
Тогда
одно из рассматриваемых множеств будет/
равномощно
собственному подмножеству другого.
Для определенности
положим,
что А\В
~
Е
1
⊂
А
1
\B
1
.
Как
следует из определения разности
множеств, множества А\В
/и
В
не
пересекаются (см. рис. 3.4,
а),
то
есть B
∩
(А\В)
= 0
.
Кроме
того,
имеет
место равенство А
= В ∪
(А\В).
/Далее
рассмотрим множество А
1
/ =
B
1
∪
Е
1
,
где
B
1
∩
Е
1
=
0
.
Очевидно,
что А
1
/ ⊂
А
1
и
А
1
/ является
собственным подмножеством
множества
А
1
(см.
рис. 3.4,
б).
Поскольку
В
~B 1
и
A\B
~ Е 1
,
то А
~
А
1
/ (см.
доказательство теоре-
мы
3.1 о единственности суммы). Из того, что
А
1
~
А
и
А
~
А
1/,
в
силу
транзитивности
отношения равномощности имеем А
1
~
А
1
/,
а
это про-
тиворечит
определению конечного множества.
Полученное противо-
речие
доказывает единственность разности.
Таким образом, теорема
полностью
доказана.
3.
Выясним
связь, существующую между операциями
вычитания
и
сложения.
170
Пусть
даны целые неотрицательные числа а
и
b.
Построим
множе-
ства
А
и
В такие, что т(А)
=
а,
т(В) =
b
и
В
⊆
А.
Тогда
по определению
3.6
разности
а
– b = т(А\В). Множества
А,
В и
A\B
изображены
на ри-
сунке
3.4,
а.
А
А\В
А1
Е1
А1\В1
В
В1
а
Рис.
3.4
б
Очевидно,
что А
=
В
∪
(А\В),
откуда
т(А)
=
т(В
∪
(А\В)).
Посколь-
/ку
В
∩
(А\В)
=
0
,
то имеем т(А)
=
т(В)
+ т(А\В) или
а
= b + (а
–
b). По-
следнее
равенство позволяет дать определение
разности.
Определение
3.6*. Разностью
целых неотрицательных чисел а
и
b
называется
целое неотрицательное число а
– b, которое
в сумме с чис-
лом
b
дает
число а.
Используя
описанный подход к определению суммы
и разности
целых
неотрицательных чисел, можно дать
теоретико-множественное
обоснование
правил, связывающих операции сложения
и вычитания.
1.
Правило вычитания числа из суммы:
а)
(а
+
b) –
с
= (а
–
с) + b, если
а
≥ с;
б)
(а
+
b) –
с
= а
+ (b
–
с), если
b
≥ с.
Чтобы
вычесть из суммы число, достаточно
вычесть это число из
одного
слагаемого суммы и к полученному
результату прибавить дру-
гое
слагаемое.
2.
Правило вычитания суммы из числа:
а
– (b
+
с) = (а
–
b) – с.
171
