Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(∀x ∈ Z 0 ) x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных

чисел позволяет определить в Z o частичные алгебраические операции

вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно-

жению (исключая деление на нуль):

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

Названные характеристики алгебры (Z o , +, ⋅) присутствуют (явно

или неявно) в любом начальном курсе математики.

1.1.6. Выражения и их тождественные преобразования

План

1.

2.

3.

4.

Понятие выражения.

Числовые выражения.

Выражения с переменной.

Тождественные преобразования выражений.

Содержание

43

1. Наряду с изучением операций и их свойств в алгебре изучают

такие понятия, как выражение, уравнение, неравенство. Первоначаль-

ное знакомство с ними происходит в начальном курсе математики.

Вводятся они, как правило, без строгих определений, чаще всего остен-

сивно, что требует от учителя не только большой аккуратности в упо-

треблении терминов, обозначающих эти понятия, но и знания ряда их

свойств. Поэтому главная задача, которую мы ставим, приступая к изу-

чению материала данного параграфа, – это уточнить и углубить знания

о выражениях (числовых и с переменными), числовых равенствах и

числовых неравенствах, уравнениях и неравенствах.

Изучение данных понятий связано с использованием математиче-

ского языка, он относится к искусственным языкам, которые создаются

и развиваются вместе с той или иной наукой. Как и любой другой, ма-

тематический язык имеет свой алфавит. В нашем курсе он будет пред-

ставлен частично в связи с необходимостью больше внимания уделить

взаимосвязи алгебры с арифметикой. В этот алфавит входят:

1) цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; с их помощью по специальным

правилам записываются числа;

2) знаки операций +, -, •, : ;

3) знаки отношений <, >, = , : ;

4) строчные буквы латинского алфавита; их применяют для обо-

значения чисел;

5) скобки (круглые, фигурные и др.); их называют техническими

знаками.

Используя этот алфавит, в алгебре образуют слова, называя их вы-

ражениями, а из слов получаются предложения – числовые равенства,

числовые неравенства, уравнения, неравенства с переменными.

2. Как известно, записи: 3 + 7; 24 : 8; 3 ∙ 2 – 4; (25 + 3) · 2 - 17 –

называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков

действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выраже-

нии, получим число, которое называется значением числового выраже-

ния. Так, значение числового выражения 3 ∙ 2 - 4 равно 2.

44

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя

найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла.

Например, выражение 8 : (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значе-

ние найти нельзя 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет

смысла и выражение 7 - 9, если рассматривать его на множестве нату-

ральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7 - 9

найти нельзя.

Определение 1.18. Если f и g – числовые выражения, то (f) + (g),

(f) - (g) > (f) · (g), (f) : (g) числовые выражения. Считают, что каж-

дое число является числовым выражением.

Если точно следовать этому определению, то пришлось бы писать

слишком много скобок, например, (7) + (5) или (6) : (2). Для сокраще-

ния записи условились не писать скобки, если несколько выражений

складываются или вычитаются, причем эти операции выполняются сле-

ва направо. Точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножают-

ся или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по

порядку слева направо. Например, пишут так: 37 - 12 + 62 – 17 + 13 или

120 : 15 · 7 : 12.

Кроме того, условились сначала выполнять действия второй сту-

пени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложе-

ние и вычитание). Поэтому выражение (12 ∙ 4 : 3) + (5 ∙ 8 : 2 - 7) записы-

вают так: 12 ∙ 4 : 3 + 5 ∙ 8 : 2 ∙ 7.

3. Рассмотрим запись 2а + 3. Она образована из чисел, знаков дей-

ствий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться

различные числовые выражения:

если а = 7, то 2 ∙ 7 + 3;

если а = 0, то 2 ∙ 0 + 3;

если а = -4, то 2 ∙ (-4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама за-

пись 2а + 3 – выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строч-

ной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначения

45

переменной кроме букв используются другие знаки, например . Тогда

запись выражения с переменной имеет вид:.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чи-

сел, при подстановке которых получается числовое выражение, имею-

щее смысл. Это множество называют областью определения выраже-

ния. Например, область определения выражения 5 : (х - 7) состоит из

всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х = 7 выраже-

ние 5 : (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и

больше переменных. Например, 2а + 3 – это выражение с одной пере-

менной, а (3х + 8y) · z – это выражение с тремя переменными. Чтобы из

выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо

вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области

определения выражения.

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического

языка числовые выражения и выражения с переменными. Если прове-

сти аналогию с русским языком, то выражения – это слова математиче-

ского языка.

Но используя алфавит математического языка, можно образовать

и такие, например, записи: (3 + 2)) -∙12 или 3х - у : +)8, которые нельзя

назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти

примеры свидетельствуют о том, что описание – из каких знаков алфа-

вита математического языка образуются выражения числовые и с пере-

менными – не является определением этих понятий.

Определение 1.19. Если f и g – выражения с переменной (f) + (g);

(f)- (g); (f) · (g); (f) : (g) – выражения с переменной.

4. Определение 1.20. Два выражения называются тождествен-

но равными, если при любых значениях переменных из области

определения выражений их соответственные значения равны.

Примером тождественно равных выражений могут служить выра-

жения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значе-

ниях х их значения равны.

46

Если два тождественно равных на некотором множестве выраже-

ния соединить знаком равенства, то получим предложение, которое

называют тождеством на этом множестве.

Например, 5(х + 2) = 5х + 10 – тождество на множестве действи-

тельных чисел, потому что для всех действительных чисел значения

выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают.

Используя обозначение квантора общности, это тождество можно

записать так:. Тождествами считают и верные

числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некото-

ром множестве, называется тождественным преобразованием данного

выражения на этом множестве.

Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему вы-

ражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого

выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются ли они тож-

дественно равными или не являются? Находить соответствующие зна-

чения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных?

Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми

надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования вы-

ражений? Этих правил много, среди них – свойства алгебраических

операций, определения понятий.

Итак, ax – bx + ab – b2 = (a – b) (x – b).

В начальном курсе математики выполняют, как правило, только

тождественные преобразования числовых выражений.

Теоретической основой таких преобразований являются свойства

сложения и умножения, различные правила: прибавления суммы к чис-

лу, числа к сумме, вычитания числа из суммы и др. Например, чтобы

найти произведение 35 ∙ 4, надо выполнить преобразования: 35 ∙ 4 = (30

+ 5) ∙ 4 = 30 ∙ 4 + 5 ∙ 4 = 120 + 20 = 140. В основе выполненных преобра-

зований лежит свойство дистрибутивности умножения относительно

сложения; принцип записи чисел в десятичной системе счисления (35 =

30 + 5); правила умножения и сложения натуральных чисел.

47