Применяя утверждение 2.6 из теоремы 2.18 к неравенствам b ≥ 1

и п > a, получаем nb > a.

Свойство натуральных чисел, доказанное в теореме 2.19, называ-

ется свойством Архимеда.

Итак, рассмотренное множество N 0 целых неотрицательных чисел

обладает следующими основными свойствами: оно бесконечное, ли-

нейно упорядоченное, дискретное, в нем имеется наименьшее число

нуль, выполняются принципы наименьшего и наибольшего числа,

а также свойство Архимеда.

2.1.5. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

План

1. Вычитание как операция, обратная сложению.

2. Деление как операция, обратная умножению.

3. Деление с остатком.

Содержание

1. Из начального курса математики известно, что вычитание тесно

связано со сложением, и разность целых неотрицательных чисел суще-

ствует не всегда. Определим сначала разность целых неотрицательных

чисел, а затем выясним условия ее существования.

Определение 2.5. Разностью целых неотрицательных чисел а и b

называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее усло-

вию b + с = а.

Обозначают с = а – b. Число а называется уменьшаемым, b – вы-

читаемым.

Действие, с помощью которого находится разность, называется

вычитанием.

Теорема 2.20. Разность целых неотрицательных чисел а и b

существует тогда и только тогда, когда b ≤ a. Если разность суще-

ствует, то она единственна.

134

Доказательство существования. Покажем необходимость выпол-

нения условия b ≤ a. Если разность а – b существует, то по определению

2.5 существует целое неотрицательное число с такое, что b + с = а. Это

означает, что b < а при c ≠ 0 или b = а при с = 0. Следовательно, ≠ 0.

Теперь докажем достаточность условия b ≤ a для существования

разности.

Неравенство b ≤ a равносильно дизъюнкции b < а ∨ b = a. Если

b < а, то по определению отношения «меньше» существует целое неот-

рицательное число c ≠ 0 такое, что b + с = а. А по определению разно-

сти с = а – b, и, значит, разность существует.

Если же b = а, то по аксиоме 2.5 сложения b + 0 = а, и, значит,

с = a – b = 0.

Итак, существование разности доказано.

Доказательство единственности. Предположим, что существуют

два значения разности: а – b = с 1 и а – b = с 2 . По определению разности

a = b + с 1 и а = b + с 2 . Отсюда следует, что b + с 1 = b + с2 , а на основа-

нии коммутативного закона сложения и теоремы 2.18 заключаем, что

с 1 = с 2 . Теорема полностью доказана.

Рассмотрим правила, связывающие сложение и вычитание целых

неотрицательных чисел.

1. Правило вычитания числа из суммы:

(a + b) – c = (а – с) + b, если a ≥ c;

(a + b) – с = a + (b – с), если b ≥ c.

Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из

одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить дру-

гое слагаемое.

Доказательство. Пусть a ≥ с. Тогда по теореме 2.20 существует

k = а – с такое, что а = с + k . Теперь применим определение разности к

левой части равенства (a + b) – с = (а – с) + b , после чего оно может

быть преобразовано к виду а + b = с + ((а – с) + b). Докажем его спра-

ведливость.

с + ((а – с) + b) = с + (k + b) = (с + k) + b = а + b,

что и требовалось доказать.

135

Аналогично доказываются другие правила.

2. Правило вычитания суммы из числа:

a – (b + с) = (а – b) – с.

Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа

последовательно каждое слагаемое.

3. Правило вычитания числа из разности:

(a – b) – с = а – (b + с).

Чтобы вычесть из разности двух чисел третье число, достаточно из

уменьшаемого вычесть сумму двух вычитаемых.

4. Правило вычитания разности из числа:

a – (b – с) = (a + с) – b;

а – (b – с) = (а – b) + с, если а > b.

Чтобы вычесть из числа а разность двух чисел a и b, достаточно к

данному числу a прибавить вычитаемое с и из полученной суммы вы-

честь уменьшаемое b.

Если а > b, то можно вычесть из числа a уменьшаемое b и к полу-

ченному результату прибавить вычитаемое с.

5. Правило прибавления разности к числу:

а + (b – с) = (a + b) – с;

a + (b – с) = (а – с) + b, если а > с.

Чтобы прибавить к числу a разность чисел b и с, достаточно при-

бавить к числу a уменьшаемое b и из полученной суммы вычесть с.

Если а > с, то можно из числа а вычесть с и к полученной разно-

сти прибавить число b.

2. Подобно тому, как вычитание связано со сложением, деление

тесно связано с умножением. Частное двух целых неотрицательных чи-

сел существует не всегда. Определим частное двух целых неотрица-

тельных чисел и установим условия его существования.

Определение 2.6. Частным целых неотрицательных чисел a и b

называется целое неотрицательное число с, удовлетворяющее усло-

вию b • с = а.

136

Обозначают с = а : b. Число а называется делимым, а число b – де-

лителем. Действие, с помощью которого находится частное, называется

делением.

Теорема 2.21. Деление на нуль невозможно.

Доказательство. Пусть даны числа а и b такие, что а ≠ 0, а b = 0.

Предположим, что частное а : b существует. Это означает существова-

ние такого целого неотрицательного числа с, что а = 0 • с. Отсюда

а = 0, и мы пришли к противоречию с условием. Значит, частное чисел

a ≠ 0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь a = 0 и b = 0. Предположим, что частное a : b суще-

ствует. Тогда существует такое с, что 0 = 0 • с. Последнее равенство

верно для любого с, то есть частным чисел a = 0 и b = 0 может быть

любое целое неотрицательное число. Следовательно, значение частного

0:0 не определено, а поэтому деление также считается невозможным.

Теорема доказана.

Заметим, что нуль делится на любое целое неотрицательное число

b ≠ 0, и в частном получается нуль. Действительно, 0 : b = с => 0 = bс,

но так как b ≠ 0, то последнее равенство возможно только при с = 0.

Известно, что множество целых неотрицательных чисел N 0 явля-

ется объединением множества N натуральных чисел и нуля. Поскольку

для нуля условия существования частного установлены, то остановимся

на рассмотрении условий существования и единственности частного

двух натуральных чисел.

Теорема 2.22. Для того чтобы существовало частное двух

натуральных чисел a и b, необходимо, чтобы b ≤ а.

Если частное существует, то оно единственно.

Доказательство необходимости. Пусть частное натуральных чи-

сел а и b существует, то есть существует такое c ∈ N , что а = bс. Но для

любого натурального числа с выполняется условие 1 ≤ с. По свойствам

монотонности и коммутативности умножения имеем b ≤ bс. Так как

bс = a, то b ≤ a.

Доказательство единственности. Пусть существуют два значе-

ния частного: а : b = с 1 и а : b = с 2 . Тогда по определению частного мо-

137

жем записать, что a = bс 1 и a = bс 2 . Следовательно, bс 1 = bс 2 . Отсюда,

по теореме 2.18, с 1 = с 2 , и единственность доказана.

Теорема 2.22 выражает необходимое условие существования част-

ного двух натуральных чисел. Однако это условие не является доста-

точным.

Например, 17 < 56 , но частное 56 : 17 не существует на множестве

натуральных чисел.

Рассмотрим правила, связывающие деление с другими операциями

над целыми неотрицательными числами.

1. Правило деления суммы на число:

(а + b) : с = а : с + b : с.

Чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это

число каждое слагаемое и полученные частные сложить.

Доказательство. Пусть a делится на с и b делится на с, тогда су-

ществуют числа k и h такие, что а = ck и b = ch. Отсюда

a + b = ck + ch = c(k + h), а это означает, что а + b делится на с и част-

ное равно сумме k + h = а : с + b : с.

2. Правило деления разности на число:

(a – b) : с = а : с – b : с.

Чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это

число уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого частного вычесть

второе.

Доказательство аналогично доказательству правила 1.

3. Правило деления произведения на число:

(ab) : с = (a : с) b, если а : с;

(аb) : с = а(b : с), если b : с.

Чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на

это число один из множителей произведения и полученный результат

умножить на второй множитель.

Доказательство.

Если а делится на с, то а = ck, и тогда ab = (ck)b = c(bk). Рассмот-

рим цепочку равенств: (ab : с) = bk = b (a : с) = (a : с) b, из которых сле-

138

дует справедливость первого утверждения. Второе утверждение дока-

зывается аналогично.

4. Правило деления числа на произведение:

a : (bc) = (a : b) : с;

a : (bc) = (а : с): b.

Чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить его

сначала на один множитель, а затем полученное частное разделить на

второй множитель.

Доказательство. Обозначим (а : b) : с = х. Тогда по определению

частного а : b = сх а = b (сх). По ассоциативному закону умножения

а = (bс)х. Из последнего равенства можем записать: а : (bс) = х или

a : (bс) = (а : b) : с. Аналогично доказываем справедливость второго ра-

венства.

5. Правило умножения числа на частное:

а(b : с) = (ab) : с;

а(b : с) = (a : с) b.

Чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это чис-

ло на делимое и полученное произведение разделить на делитель или

разделить это число на делитель и полученное частное умножить на де-

лимое.

Доказательство аналогично доказательству правила 4.

3. Как уже отмечалось выше, частное двух натуральных чисел су-

ществует не всегда. Так, например, не существует натурального числа,

которое являлось бы частным чисел 56 и 17. Однако существуют числа

3 и 5 такие, что 56 = 17 • 3 + 5. В этом случае говорят, что выполнено

деление с остатком. Число 3 при этом называют неполным частным,

а число 5 – остатком.

Определение 2.7. Разделить с остатком натуральное число а

на натуральное число b – значит найти такие целые неотрица-

тельные числа q и r, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b.

Число q называют неполным частным, r – остатком при делении

a на b.

Если r = 0, то а = bq, и значит частное q чисел а и b существует.

139

Если а < b, то имеем q = 0 и r = а.

Деление с остатком выполняется для любых натуральных чисел и

вполне однозначно. Именно это утверждается в следующей теореме.

Теорема 2.23. Для любых двух натуральных чисел а и b суще-

ствует единственная пара целых неотрицательных чисел q и r,

удовлетворяющих определению деления с остатком.

(∀a, b ∈ N )(∃(q, r ))(q, r ∈ N 0 )(a = bq + r , 0 ≤ r < b ) .

Доказательство существования деления с остатком. Построим

множество М, состоящее из целых неотрицательных чисел, кратных

b и не превосходящих a:

М = {х|х = bq, х < а}.

В частности, для чисел 56 и 17 множество М имеет следующий вид:

{17 • 0, 17 • 1, 17 • 2, 17 • 3} = {0, 17, 34, 51}.

Поскольку для всех чисел x ∈ M выполняется неравенство х < а + 1,

то М является конечным подмножеством множества целых неотрица-

тельных чисел N 0, а значит (см. теорему 2.16), в нем есть наибольшее

число, которое обозначим через х0. Это число имеет вид х0 = bq. Число

b(q + 1) не принадлежит множеству М, так как b(q + 1) > a.

Таким образом, мы нашли число q, удовлетворяющее условию

bq ≤ a b(q + 1).

Из последних неравенств следует, что

bq ≤ а < bq + b или 0 ≤ а – bq < b.

Если обозначить выражение a – bq через r, то получим a – bq = r.

Последняя запись означает, что

а = bq + r и 0 ≤ r < b.

Таким образом, существование неполного частного q и остатка

r установлено.

Докажем единственность деления с остатком. Рассуждаем методом

от противного. Предположим, что деление а на b не единственное, то есть

существуют, по крайней мере, два неполных частных q1 и q2 и два остат-

ка r1 и r1. Для определенности положим q1 > q2 . Тогда можем записать:

а = bq 1 + r 1 , 0 ≤ r 1 < b;

140