4.1. Лекционный материал

4.1.1. Понятие натурального числа как меры длины

План

1. Суть натурального числа как меры величины.

2. Сравнение натуральных чисел как мер длин отрезков.

Содержание

1. Тема «Величины и их измерение» подробно изложена нами в

учебно-методическом пособии «Величины и их измерение». Здесь же

рассмотрим частный случай измерения длин отрезков, предположив,

что результаты измерения выражаются только натуральными числами.

На примере измерения длины выясним суть самого натурального числа

как меры величины, а также смысл арифметических действий над нату-

ральными числами.

Определение 4.1. Говорят, что отрезок х состоит из отрезков х 1 , х 2 ,

… , х п , если он является их объединением и никакие два из них не име-

ют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

В этом случае говорят также, что отрезок х разбит на отрезки х 1 ,

х 2 , … , х п , или отрезок х является суммой отрезков х 1 , х 2 , … , х п , и пи-

шут х = х 1 + х 2 + … + х п .

Например, отрезок х на рисунке 4.1 разбит на отрезки х 1 , х 2 , х 3 , х 3 ,

то есть х = х 1 + х 2 + х 3 + х 4 .

Х1

Х2

Х3

Х4

Х

Рис. 4.1

186

Х

е

е1

Рис 4.2

Действительно, если отрезок х, изображенный на рисунке 4.2, из-

мерять отрезком е, то мера его будет равна 4. Если теперь тот же самый

отрезок х измерять отрезком е 1 , то мера его будет равна 12, то есть

m e (х) = 4; m e1 (х) = 12.

187

4.1.2. Арифметические операции над натуральными числами

как мерами длин отрезков

План

1.

2.

3.

4.

5.

Сложение.

Вычитание.

Умножение.

Деление.

Обоснование выбора действий при решении текстовых задач.

Содержание

Выясним смысл арифметических операций над натуральными

числами, рассматриваемыми как меры длин отрезков.

1. Пусть отрезок z состоит из отрезков х и у, и пусть длины этих от-

резков при выбранной единице е выражаются натуральными числами с, а,

b, то есть: с = me(z), a = me(х), b = me(у). Это означает, что отрезок х со-

стоит из а отрезков, равных е; отрезок у состоит из b отрезков, равных е.

Следовательно, весь отрезок z состоит из a + b отрезков, равных е, то есть

m e (z) = с + а + b = m e (х) + m e (у).

188

а+b

2. Пусть теперь отрезок х состоит из отрезков у и z, и пусть, как и

прежде, а = m e (х), b = m e (у), с = m e (z) (см. рис. 4.3).

Z

У

= me(z), где z = х + у, me(x) = а, me(у) = b.

Df

Х

Рис. 4.3

Тогда отрезок z называют разностью отрезков х и у и обозначают

х – у. Очевидно, что в этом случае мера отрезка z равна разности мер

отрезков х и у, то есть с = m e (z) = m e (х) – m e (у) = а – b. Итак, мы подо-

шли к определению разности натуральных чисел.

Определение 4.4. Разностью натуральных чисел а и b называет-

ся натуральное число а – b, равное мере длины отрезка z, являюще-

гося разностью отрезков х и у, мерами длин которых являются чис-

ла а и b.

а–b

Необходимо заметить, что о разности отрезков х – у имеет смысл

говорить только в том случае, когда отрезок х больше отрезка у. Следо-

вательно, разность натуральных чисел а и b существует, единственна и

является натуральным числом только при соблюдении условия а > b.

3. Пусть m e (х) = а, то есть отрезок х состоит из а отрезков, равных

е. Отрезок е, в свою очередь, состоит из b отрезков, равных е 1 , то есть

m e1 (е) = b (рис. 4.2). Тогда мера длины отрезка х при единице е 1 выра-

жается числом b • a.

189

= me(z), где z =х – у, me(х) = а, me(у) = b.

Df

b+отрезке х. Искомое число будет равно b + + b = b ⋅ a = a ⋅ b . Значит,

a слагаемых

m e1 (х) = а • b.

Таким образом, умножение натуральных чисел как мер длин от-

резков выражает переход к новой (более мелкой) единице длины.

Определение 4.5. Пусть а = me(х) и b = me1(е). Тогда произведением

натуральных чисел а и b называется натуральное число а • b, равное

мере длины отрезка х при новой (более мелкой) единице длины е1.

а•b

4. Пусть отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок е 1 со-

стоит из b отрезков, равных е, то есть m e (х) = а и m e (е 1 ) = b. Выясним,

каким числом будет выражаться мера длины отрезка х при единице е 1

(рис. 4.4).

= me1(х), где me(х) = a, me1(е) = b.

Df

Х

е

е1

Рис. 4.4

По условию для отрезков х и е 1 можно записать равенства х = а • е

и е 1 = b • е. Из последнего равенства найдем е = е 1 : b. Подставив

найденное значение е в равенство х = а • е и применив правило умно-

жения числа на частное, получим х = а • е = а • (е 1 : b) = (а : b) е 1 . По-

190

а :b

Из описанного процесса деления видно, что новая (более крупная)

единица длины е 1 может не уложиться в отрезке х целое число раз. То

есть, несмотря на то, что значения длин отрезков х и е 1 по условию при

единице е выражаются натуральными числами, длина отрезка х при но-

вой единице е 1 может не выражаться натуральным числом. Другими

словами, операция деления на множестве натуральных чисел как мер

длин отрезков в общем случае не определена.

5. Определение суммы, разности, произведения и частного нату-

ральных чисел как мер длин отрезков позволяет обосновывать выбор

действий при решении текстовых задач.

Задача 1. На пиджак израсходовали 3 м ткани, а на брюки – 2 м.

Сколько метров ткани пошло на весь костюм?

Изобразим ткань, которая пошла на пиджак, в виде отрезка х,

ткань, которая пошла на брюки, – в виде отрезка у. Тогда ткань, израс-

ходованную на весь костюм, можно изобразить в виде отрезка z, состо-

ящего из отрезков х и у (рис. 4.5).

= me1(х), где me(х) = а, me(е1) = b.

Df

191

Так как мера длины отрезка z равна сумме мер длин отрезков х и у,

то задача решается действием сложения:

3 + 2 = 5 (м).

Задача 2. В детский сад привезли 5 коробок вафель по 3 кг в каж-

дой. Сколько кг вафель привезли в детский сад?

В задаче рассматриваются две единицы массы вафель – коробки и

килограммы. Так как по условию результат измерения требуется выра-

зить в килограммах, то есть более мелкой единице массы, то задача ре-

шается действием умножения:

3 • 5= 15 (кг).

Задача 3. 12 кг муки решили пересыпать в пакеты по 2 кг в каж-

дый. Сколько пакетов для этого потребуется?

В задаче речь идет о двух единицах массы муки – килограммах и

пакетах. Поскольку по условию результат измерения требуется выра-

зить в пакетах, то есть в более крупной единице массы, то задача реша-

ется действием деления:

12 : 2 = 6 (пак.).

192

С.р. № 1 Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Задание 1. 1Г, 2В, 3Б, 4А.

Задание 2. 3.

Задание 3. 2.

Задание 4. 2, 4, 6, 7.

Задание 5. 1, 2, 3, 5, 6.

Задание 6. 1А, 2Б, 3В.

Задание 7. «Непосредственно следовать за», множеством нату-

ральных чисел.

Задание 8. В множестве N существует элемент, непосредственно

не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть

его единицей и обозначать символом 1.

Задание 9. Для каждого элемента а из N существует единственный

элемент а/, непосредственно следующий за а.

Задание 10. 1Б, 2А.

С.р. № 2 Сложение

Задание 1. 2, 3.

Задание 2. 1, 3.

Задание 3.1Е, 2Д, 3Б, 4А.

Задание 4. 3.

Задание 5. 1.

Задание 6. Сверху вниз: 2, 4, 1, 3, 7, 5, 6.

Задание 7. Коммутативное, ассоциативное свойства сложения и

определение сложения в аксиоматической теории натуральных чисел.

Задание 8. 2.

Задание 9. 1В, 2Е, 3А, 4Г.

Задание 10. 2 + 3 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5.

193

С.р. № 4 Умножение

Задание 1. (∀a ∈ N) а ⋅ 1 = а; (∀a, b ∈ N) а ⋅ b/ = аb + a.

Задание 2. 1, 3.

Задание 3. Определение умножения при аксиоматическом постро-

ении натуральных чисел.

Задание 4. 1Г, 2В, 3Б, 4А.

Задание 5. 4.

Задание 6. Сверху вниз: 3, 5, 7, 1, 6, 4, 2, 9, 8.

Задание 7. 3.

Задание 8. 1Б, 2Д, 3В, 4А.

Задание 9. Коммутативное и дистрибутивное свойства умножения.

194

С.р. № 5 Деление

Задание 1. a : b = c, b ⋅ c = a.

Задание 2. Правило деления числа на произведение: для того, что-

бы разделить число на произведение, достаточно это число разделить

на каждый множитель.

Задание 3. 954 : 18 = (900 + 54) : 18 = 900 : 18 + 54 : 18 = 50 + 3 = 53.

Задание 4. 882 : 18 = (900 – 18) : 18 = 900 : 18 – 18 : 18 = 50 – 1 = 49.

Задание 5. Правило деления произведения на число.

(560 ⋅ 32) : 16 = 560 ⋅ (32 : 16) = 560 ⋅ 2 = 1120.

195

С.р. № 1 Теоретико-множественный смысл суммы

Задание 1. Объединении, n(A), n(B).

Задание 2. 1.

Задание 3. 2.

Задание 4. 1Б, 2А.

Задание 5. 1.

С.р. № 2 Теоретико-множественный смысл разности

Задание 1. Дополнении, n(A), n(B).

Задание 2. 1.

Задание 3. 4.

Задание 4. 1.

Задание 5. 1Б, 2А.

С.р. № 3 Теоретико-множественный смысл произведения

Задание 1. а+а+а+…+а; a; 0.

b-слагаемых

Задание 2. 1.

Задание 3. Декартовом, a, b, n(A × B).

Задание 4. 4.

Задание 5. 3.

С.р. № 4 Теоретико-множественный смысл частного натуральных

чисел

Задание 1. Число таких подмножеств; число элементов.

Задание 2. 1Б, 2А.

Задание 3. 2.

Задание 4. 1, 2, 3, 4.

196

1. Виноградова Е.П. Величины и их измерение : учебное пособие

/ Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ, 2006. – 92 с.

2. Виноградова Е.П. Комбинаторные задачи и способы их реше-

ния : учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Оренбург : ГУ «РЦРО»,

2008. – 88 с.

3. Виноградова Е.П. Математика : математические понятия, мате-

матические предложения, математические доказательства, алгоритмы :

учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ,

2006. – 110 с.

4. Виноградова Е.П. Математика : множества, элементы комбина-

торики : учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство

ОГТИ, 2005 – 112 с.

5. Виноградова Е.П. Математика : решение, программы самостоя-

тельной работы : учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Орск : Изд-во

ОГТИ, 2006. – 102 с.

6. Виноградова Е.П. Математика : текстовые задачи и методы их

решения : учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство

ОГТИ, 2007. – 94 с.

7. Виноградова Е.П. Математика. Элементы алгебры : учебное по-

собие / Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ, 2007. – 109 с.

8. Виноградова Е.П. Математика. Элементы алгебры : учебное по-

собие / Е.П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ, 2008. – 110 с.

9. Виноградова Е.П. Математика. Часть I. Множества. Элементы

комбинаторики : бакалавриат : учебно-методическое пособие / Е.П. Ви-

ноградова. – Оренбург : ГБУ РЦРО, 2012. – 117 с.

197

утверждения и их структура : бакалавриат : учебно-методическое по-

собие / Е.П. Виноградова. – Оренбург : ГБУ РЦРО, 2013. – 102 с.

11. Виноградова Е.П. Различные подходы к построению множе-

ства целых неотрицательных чисел : учебное пособие / Е.П. Виногра-

дова. – Оренбург : ГУ «РЦРО», 2008. – 78 с.

12. Виноградова Е.П. Расширение понятия «число» : учебное по-

собие / Е.П. Виноградова. – Оренбург : ГУ «РЦРО», 2008. – 92 с.

13. Виноградова Е.П. Системы счисления. Отношение делимости :

учебное пособие / Е.П. Виноградова. – Оренбург : ГУ «РЦРО», 2008. –

88 с.

14. Стойлова Л.П. Математика / Л.П. Стойлова. – М. : ИЦ «Ака-

демия», 1999.

15. Стойлова Л.П. Математика : сборник задач / Л.П. Стойлова. –

М. : ИЦ «Академия», 2012.

198