План
1.
Понятие
суммы целых неотрицательных чисел.
2.
Существование
и единственность суммы.
Содержание
1.
Операция
сложения целых неотрицательных чисел
в количе-
ственной
теории связана с операцией объединения
конечных множеств.
/Если
А
и
В
–
конечные
множества и А
∩
В
= 0
,
то
т(А
∪
В)
= т(А) +
т(В).
Именно
этот факт и положен в основу опреде-
ления
суммы целых неотрицательных чисел.
Определение
3.5. Суммой
целых неотрицательных чисел a и b
называется
целое неотрицательное число a + b, равное
числу эле-
ментов
в объединении непересекающихся множеств
А и В таких,
что
т(А) = a, т(В) = b.
a+b
Числа
a
и
b
при
этом называются слагаемыми.
В
связи с введенным определением
естественно поставить вопросы:
для
любых ли целых неотрицательных чисел
а
и
b
существует
целое не-
отрицательное
число а
+
b,
являющееся
их суммой? Единственно ли та-
кое
число? Ответы на поставленные вопросы
дает следующая теорема.
2.
Теорема
3.1. Каковы
бы ни были два целых неотрицательных
числа
а и b, всегда существует единственное
целое неотрицатель-
ное
число с, являющееся их суммой.
Другими
словами, сумма любых двух целых
неотрицательных чи-
сел
существует и единственна.
Доказательство
существования. Пусть
а
и
b
–
два
целых неотри-
цательных
числа. Из элементов любой природы
построим конечные
/множества
А
и
В
такие,
что т(А)
= a, т(В) = b и
А
∩
В
= 0
.
165
/=
т(А
∪
В),
где
а
=
т(А),
b =
т(В),
А ∩
В
= 0
.
Df3.1.2. Сумма целых неотрицательных чисел
Из
теории множеств известно, что объединение
конечного числа ко-
нечных
множеств есть множество конечное.
Поэтому объединение А
и
В
является
конечным множеством. Последнее означает,
что существует це-
лое
неотрицательное число с
=
т(А
∪
В).
Но
по определению 3.4 с
и
есть
сумма
чисел a
и
b.
Тем
самым существование суммы доказано.
Доказательство
единственности. Покажем,
что сумма a
+ b
единственна
и не зависит от выбора представителей
в классах. Возьмем
из
классов эквивалентности, определяющих
числа a
и
b,
вместо
мно-
жеств
А
и
В,
соответственно,
множества А
1
и
В
1
.
Пусть с
1
–
целое
неот-
рицательное
число такое, что т(А
1
∪
В
1
)
= с
1
.
Покажем,
что с
1
=
с.
Иначе
говоря, докажем, что если А
1
~
А
и
В
1
~
В, причем
/А
1
∩
В
1
=
А ∩
В
= 0
,
то А
1
∪
В
1
=
А
∪
В.
Пусть
ϕ
–
взаимно-однозначное
соответствие между множествами
А
и
А
1
,
а ψ
–
между
множествами В
и
В
1
.
Каждый элемент х,
принадле-
жащий
А
∪
В,
принадлежит
либо А,
либо
В
(х
не
может принадлежать А
/и
В
одновременно,
так как А
∩
В
= 0
).
Определим
соответствие f
между
множествами А
∪
В
и
А
1
∪
В
1
(рис.
3.2)
следующим
образом.
Если
x
∈
А,
то
положим f
(x)
= ϕ(x)
= x
1
∈
А
1
.
Если
x
∈
B,
то
положим f
(x)
= ψ
(x)
= x
1
∈
B
1
.
Докажем,
что f
–
взаимно-однозначное
соответствие. Действительно,
при
таком определении f
для
каждого x
∈
A
∪
B
существует
единствен-
ный
элемент x1
∈
А1
∪
B1
,
удовлетворяющий
условию x1
=
f
(x).
И
наоборот, всякий элемент x1
∈
А1
∪
B1
соответствует
точно одному
элементу
x
∈
A
∪
B.
Этими
рассуждениями мы установили
взаимно-однозначное соот-
ветствие
f
между
множествами А
∪
В
и
А1
∪
В1.
Поэтому
А1
∪
В1
~
А
∪
В,
а
значит, с1
=
с,
и
теорема полностью доказана.
А
х
х1
А1
166
В1
Рис.
3.2
Операция,
с помощью которой по данным целым
неотрицатель-
ным
числам a
и
b
находится
целое неотрицательное число с,
являющее-
ся
их суммой, называется сложением.
Рассмотрим
основные законы, которым удовлетворяет
операция
сложения
целых неотрицательных чисел.
1.
(∀a,
b
∈
N
0
)(a
+
b
=
b
+
a
)
–
коммутативный
закон сложения.
Доказательство.
Построим
такие конечные множества А
и
В,
что
/т(А)
= a, т(В) = b и
А
∩
В
= 0
.
Для любых множеств справедлив ком-
мутативный
закон объединения А
∪
В
= В ∪
A.
Равные
конечные мно-
жества
имеют равные численности, то есть т(А
∪
В)
= т(В ∪
А).
По
определению 3.4 суммы целых неотрицательных
чисел
т(А
∪
В)
=т(А) + т(В) =
а
+
b,
т(В
∪
А)
= т(В) +
т(А)
=
b
+
a.
Следовательно,
a
+ b = b + a верно
для любых целых неотрица-
тельных
чисел.
2.
(∀a,
b
∈
N
0
)((a
+
b
)
+
c
=
a
+
(b
+
c
))
–
ассоциативный
закон сложения.
Доказательство
этого закона опирается на ассоциативность
объ-
единения
множеств (А
∪
В)
∪
С
= A ∪
(В
∪
С)
и
проводится анало-
гично
доказательству предыдущего закона.
Определение
суммы двух целых неотрицательных чисел
легко
распространяется
на любое конечное число слагаемых.
Действительно,
при
определении суммы трех слагаемых a
1
,
a
2
,
a
3
естественно
посту-
пить
следующим образом: a
1
+
a
2
+
a
3
=
(a 1
+
a
2
)
+ a
3
,
то есть найти
сумму
двух первых слагаемых и к полученному
результату прибавить
третье
слагаемое.
Предположим,
что определена сумма п
слагаемых
a
1
,
a
2
,…,
a
n
,
то-
гда
сумма п
+
1 слагаемых находится по правилу:
a
1
+
a
2
+…+
a
n
+
a
n+1
=
(a 1
+
a
2
+…+
a
n
)
+ a
n+1
.
Легко
заметить, что коммутативный и ассоциативный
законы
сложения
распространяются на любое конечное
число слагаемых.
167
