Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5513 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Орский гуманитарно-технологический институт (филиал ОГУ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Vinogradova_E-Matematika-Chast_2.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
124 Мб
Скачать
☆
►Содержание►

Чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа

последовательно каждое слагаемое суммы.

Дадим теоретико-множественное обоснование правила вычитания

суммы из числа. С этой целью рассмотрим три конечных множества А,

/В и С таких, что т(А) = а, т(В) = b, т(С) = с, В ∩ С = 0 и

В ∪ С ⊂ А. Тогда а – (b + с) = т(А\(В ∪ С)), а (а – b) – с = т((А\В)\С).

А

А1

В

В

С

С

а

Рис. 3.5

б

На диаграммах Эйлера – Венна множество A\(B ∪ C) представле-

но заштрихованной частью (рис. 3.5, а), а множество (А\В)\С – двояко

заштрихованной частью (рис. 3.5, б). Сравнивая указанные области,

убеждаемся в том, что они одинаковы. Значит, для вышеуказанных

множеств А, В и С выполняется равенство A\(B ∪ C) = (А\В)\С. Следо-

вательно, т (A\(B ∪ C)) = т((А\В)\С), то есть а – (b +с) = (а – b) – с.

Аналогично рассуждая, можно дать теоретико-множественное

обоснование правила вычитания числа из суммы. Предлагаем читателю

сделать этот самостоятельно.

3.1.4. Произведение целых неотрицательных чисел

План

1. Понятие произведения.

2. Существование и единственность произведения.

3. Законы умножения.

172

Содержание

1. В количественной теории можно рассматривать различные под-

ходы к определению произведения целых неотрицательных чисел.

Остановимся сначала на определении произведения, взяв за основу по-

нятие суммы.

Определение 3.7. Произведением целых неотрицательных чисел

а и b называется целое неотрицательное число а • b, удовлетворя-

ющее следующим условиям:

1) а• b = a + a + …..+ aпри b > 1

b-cлагаемых

2) а • 1 = а при b = 1;

3) а • 0 = 0 при b = 0.

Действие, при помощи которого находят произведение чисел

а и b, называется умножением, числа а и b называются множителями.

Данному определению произведения можно дать следующее теоре-

тико-множественное обоснование. Если рассмотреть попарно не пересе-

кающиеся множества А1 , А2, ..., Аb , каждое из которых содержит а эле-

ментов, то их объединение А1 ∪ А2 ∪ ... ∪ Аb содержит а • b элементов.

Таким образом, произведение а • b есть целое неотрицательное

число, равное количеству элементов в объединении b попарно не пере-

секающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов.

Существование и единственность произведения целых неотрица-

тельных чисел при таком подходе вытекает из существования и един-

ственности суммы любого конечного числа слагаемых. Существование и

единственность произведений а • 1 и а • 0 принимаются по определению.

Именно с таким подходом к определению произведения целых не-

отрицательных чисел знакомятся учащиеся в начальной школе. Конкрет-

ный смысл его раскрывается в процессе решения простых задач типа:

«В каждую люстру нужно ввернуть 3 лампочки. Сколько лампочек по-

требуется на 5 таких люстр?» Для вывода законов умножения, а также за-

конов, связывающих умножение с другими операциями над целыми не-

отрицательными числами, более удобен другой подход к определению

произведения. Он связан с декартовым произведением множеств.

173

Определение 3.7*. Произведением целых неотрицательных чи-

сел а и b называется целое неотрицательное число а • b, равное чис-

лу элементов в декартовом произведении множеств А и В таких,

что т(А) = а, т(В) = b:

а • b = т(А × В), где а = т(А), b = т(В).

Если b = 1, то т(В) = 1, а значит, множество В состоит из одного

элемента. В свою очередь, множество А состоит из а элементов.

Пусть это будут множества А = {x 1 , x 2 , ..., x a } и В = {у}. Тогда де-

картово произведение А × В = {(x 1 , y), (х 2 , у), ..., (х а , y)} состоит из а

пар. В этом случае имеем т(А × В) = т(А) • т(В) = а • 1 = а.

//Если b = 0, то т(В) = 0 и В = 0 . Тогда т(А × В) = т(А × 0 ) = т(А)

/• т( 0 ) = а • 0 = 0. Таким образом, для любых целых неотрицательных

чисел а и b произведение находится из равенства

а • b = т(А × В), где а т(А), b = т(В).

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется найти произве-

дение чисел 2 и 4. Согласно определению, 14, 2 • 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

Чтобы воспользоваться определением 3.7*, построим множества А и В

такие, что т(А) = 2; т(В) = 4. Пусть это будут множества А = {х, у} и

В = {р, q, r, s}. Найдем декартово произведение А × В, расположив его

элементы в виде прямоугольной таблицы:

(х, р) (х, q) (x, r) (x, s)

(y, р) (y, q) (y, r) (y, s).

Поскольку таблица состоит из 8 попарно различных упорядоченных

пар, то, согласно определению 3.7*, можем записать 2 • 4 = т(А × В) = 8.

С другой стороны, таблица состоит из 4 столбцов, в каждом из ко-

торых по 2 элемента, а значит, т(А × В) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

Этот пример показывает, что значение произведения не зависит от

того, каким из определений пользоваться. Однако общее утверждение о

том, что определения 3.7 и 3.7* эквивалентны, мы принимаем без дока-

зательства.

Понятие произведения двух целых неотрицательных чисел легко

распространяется на любое конечное число множителей. Так,

a 1 • a 2 • a 3 = (a 1 • a 2 ) • a 3 . Последним равенством определяется произ-

174

ведение любых трех целых неотрицательных чисел. Предположим, что

определено произведение п множителей. Тогда

a 1 • a 2 • …• a n • a n+1 = (a 1 • a 2 •… • a n )• a n+1 .

Как уже отмечалось, существование и единственность произведе-

ния целых неотрицательных чисел вытекает из существования и един-

ственности суммы любого конечного числа слагаемых. Здесь остано-

вимся на рассмотрении этих вопросов с позиций численности декартова

произведения.

2. Теорема 3.3. Каковы бы ни были два целых неотрицательных

числа а и b, всегда существует единственное целое неотрицатель-

ное число с, являющееся их произведением.

Другими словами, произведение любых двух целых неотрицатель-

ных чисел существует, и единственно.

Доказательство существования. Пусть а и b – два целых неотри-

цательных числа. Построим множества А и В такие, что а = т(А),

b = т(В). Поскольку декартово произведение А × В конечных множеств

А и В существует и является множеством конечным, то существует

и целое неотрицательное число с = т(А × В). По определению 3.7* чис-

ло с и принимается за произведение чисел а и b. Тем самым существо-

вание произведения доказано.

Доказательство единственности. Докажем, что произведение а • b

единственно и не зависит от выбора множеств А и В. Пусть при выборе

множеств, соответствующих числам а и b, взяли множества А1 и В1 из тех

же классов эквивалентности. И пусть т(А1 × В1) =с1 . Покажем, что с1 = с.

Другими словами, докажем, что если А1 ~ А и В1 ~ В, то А1 × В1 ~ А × В.

Пусть ϕ – взаимно-однозначное соответствие между множествами

А и А 1 , а ψ – взаимно-однозначное соответствие между множествами

В и В 1 . Это означает выполнимость следующих соотношений:

 (∀x ∈ A)(∃! x1 ∈ A1 )(x1 = ϕ (x ));

−1

(∀x1 ∈ A1 )(∃! x ∈ A) x = ϕ ( x1 ) .

(

)

 (∀y ∈ B )(∃! y1 ∈ B1 )( y1 = ψ ( y ));

−1

(∀y1 ∈ B1 )(∃! y ∈ B ) y = ψ ( y1 ) .

(

)

175

Определим соответствие f между множествами А × В и А 1 × В 1

следующим образом:

f(x, y) = ( ϕ (x), ψ (y)) = (x 1 , y 2 ).

Очевидно, что f является взаимно-однозначным соответствием. Дей-

ствительно, поскольку для каждой компоненты пары (x, y) ∈ А × В суще-

ствует точно один соответствующий элемент, то и самой паре соответ-

ствует точно одна упорядоченная пара (x1 , y2 ) ∈ А1 × В1 , и наоборот.

Итак, А1 × В1 ~ А × В. Но тогда т(А1 × В1) = т(А × В), и значит, c1 = с.

Теорема доказана.

3. Рассмотрим основные законы, связанные с операцией умножения.

1. (∀a, b ∈ N 0 )(a ⋅ b = b ⋅ a ) – коммутативный закон умножения.

3.

4.

2. (∀a, b, c ∈ N 0 )((a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )) – ассоциативный закон умножения.

умножения относительно сложения.

(∀a, b, c ∈ N 0 )(a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ) – дистрибутивный закон

(∀a, b, c ∈ N 0 )(a ⋅ (b − c ) = a ⋅ b − a ⋅ c ) – дистрибутивный закон

умножения относительно вычитания.

Докажем справедливость закона 3. Для этого построим конечные

множества А, В и С, удовлетворяющие следующим условиям: т(А) = а,

/т(В) = b; т(С) = с и В ∩ С = 0 .

Поскольку для любых множеств имеет место дистрибутивность де-

картова произведения относительно объединения, то он выполняется и для

построенных нами множеств, то есть А × (В ∪ С) = (А × В) ∪ (А × С).

Из равенства конечных множеств вытекает равенство их числен-

ностей. Это означает, что т(А × (В ∪ С)) = т((А × В) ∪ (А × С)).

Но т(А × (В ∪ С)) = а • (b + с) и т((А × В) ∪ (А × С)) = а • b + а • с,

что и требовалось доказать.

Доказательства остальных законов проводятся аналогично и реко-

мендуются студентам в качестве упражнений.

Следует заметить, что коммутативный и ассоциативный законы

умножения справедливы для любого конечного числа множителей.

176

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности