3.1.5. Частное целых неотрицательных чисел

План

1. Понятие частного.

2. Отношения «больше в», «меньше в».

Содержание

1. Рассмотрим теоретико-множественный смысл частного. Операция

деления на множестве целых неотрицательных чисел связана с разбиени-

ем соответствующих множеств на классы. При этом решаются две задачи.

1. Пусть имеем множество А такое, что т(А) = а. Требуется раз-

бить его на b равночисленных попарно непересекающихся подмно-

жеств (классов). Тогда частное a : b показывает, сколько элементов со-

держится в каждом классе разбиения. В этом случае говорят о делении

на равные части.

2. Пусть теперь множество А, соответствующее числу а, требуется

разбить на попарно не пересекающиеся подмножества, в каждом из ко-

торых содержится b элементов. Тогда частное а: b показывает, сколько

подмножеств (классов) содержится в таком разбиении. В этом случае

говорят о делении по содержанию.

Таким образом, можно дать определение частного целых неотри-

цательных чисел.

Определение 3.8. Пусть а = т(А) и множество А разбито на по-

парно непересекающиеся равночисленные подмножества, тогда

1) если b – число подмножеств в разбиении, то частным а : b

называется численность каждого подмножества;

2) если b – численность каждого подмножества, то частным а : b

называется число подмножеств в разбиении.

Число а в любом из этих случаев называется делимым, а число b –

делителем.

Невозможность деления на нуль также имеет свое теоретико-

множественное истолкование. Если а ≠ 0, а b = 0, то невозможность деле-

177

c+следнее равенство можно записать так: a = c + + c = с ⋅ b .

b слагаемых

Равенство а = с • b выражает связь операций деления и умноже-

ния. Таким образом мы подошли к определению частного.

Определение 3.8*. Частным целого неотрицательного числа а

и натурального числа b называется такое целое неотрицательное

число с = а : b, которое в произведении с числом b дает число а.

Аналогично можно провести теоретико-множественное истолко-

вание обратной связи.

Итак, a : b = с <=> а = с • b.

2. Рассмотрим с теоретико-множественных позиций смысл отно-

шений «больше в» и «меньше в». С этими отношениями учащиеся

начальных классов часто встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории смысл этих отношений вытекает из

определения деления натуральных чисел. Так, если а : b = с, то можно

говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». Следо-

вательно, чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше

другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а = т(А), b = т(В) и известно, что «а больше b», то во

множестве А можно выделить подмножество, равномощное множеству

В. Поскольку а больше b в с раз, то множество А можно разбить на с

подмножеств, равномощных множеству В.

178

179