1.1.7. Числовые равенства и неравенства

План

1.

2.

3.

4.

Числовые равенства.

Свойства числовых равенств.

Числовые неравенства.

Свойства числовых неравенств.

Содержание

1. Рассмотрим числовые выражения: (4 + 1) ∙ 2; 5 + 3 ∙ 2; 7 + 6 : 2.

Соединив первое из них знаком равенства со вторым и третьим, получим

предложения:

(4 + 1)· 2 = 5 + 3 · 2;

(4 + 1)· 2 = 7 + 6 : 2.

С точки зрения логики первое из этих предложений является лож-

ным высказыванием, а второе – истинным. Оба эти предложения в ма-

тематике называются числовыми равенствами.

Определение 1.21. Два числовых выражения А и В, соединенные

знаком «равно», образуют числовое равенство А = В.

Как следует из вышесказанного, числовые равенства бывают ис-

тинными (верными) или ложными (неверными) в зависимости от того,

равны или нет значения рассматриваемых в них числовых выражений.

2. Отношение равенства на множестве числовых выражений обла-

дает следующими свойствами:

– рефлексивности;

– симметричности;

– транзитивности.

Справедливость свойств 1°-3° вытекает из выполнимости этих

свойств для отношения равенства на множестве действительных чисел.

Таким образом, отношение равенства на множестве числовых выраже-

ний является отношением эквивалентности и разбивает множество всех

числовых выражений на классы так, что любые два выражения из одно-

го класса имеют равные значения, то есть представляют одно и то же

48

Доказательство. По свойству рефлексивности, можем записать

а + с = а + с. По условию а = b. Учитывая это, заменим в правой части

выражение а на равное ему выражение b и получим а + с = b + с. Тео-

рема доказана.

Теорема 1.2 (обратная теореме 1.1). Если из обеих частей вер-

ного равенства вычесть одно и то же число, то снова получим вер-

ное равенство:

Доказательство. По условию, а + с = b + с. Используя теорему

1.1, прибавим к обеим частям последнего равенства число -с. Получим

а + с + (-с) = b + с + (-с) . Пользуясь ассоциативным законом сложе-

ния, можем записать а + (с + (-с)) = b + (с + (-с)). По определению про-

тивоположного числа, можем записать равенство а + 0 = b + 0, а далее,

по правилу сложения с нулем, получим а = b, и справедливость теоре-

мы установлена.

Следствие 1.1. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной

части верного равенства в другую, поменяв при этом его знак на проти-

воположный, то снова получим верное равенство.

49

Доказательство. По теореме 1.1, имеем:

=b + c и c = d => b + c = b + d.

Пользуясь свойством транзитивности равенства, можем написать:

Тем самым требуемое

доказано.

Теорема 1.4. Верные равенства можно почленно вычитать,

и снова получим верное равенство:

Доказательство. По свойству симметричности,

По теореме 1.3,В свою очередь, по

следствию из теоремы 1.2, можем записать

. Далее, используя правило силлогизма, получим

. Теорема доказана.

Теоремы 1.5-1.7 устанавливают свойства, связывающие равенство

с умножением.

Теорема 1.5. Если обе части верного равенства умножить

на одно и то же число, то снова получим верное равенство:

Теорема 1.6. Если обе части верного равенства разделить на

одно и то же число, отличное от нуля, то снова получим верное ра-

венство:

Теорема 1.7. Верные равенства можно почленно перемножить,

и снова получим верное равенство:

50

С точки зрения логики, первое из этих предложений является

ложным высказыванием, а второе – истинным. Оба эти предложения в

математике называются числовыми неравенствами.

Определение 1.5. Два числовых выражения А и В, соединенные

знаком «больше» или «меньше», образуют числовое неравенство

А > В или А < В.

Числовые неравенства могут быть истинными (верными) или

ложными (неверными) в зависимости от значений числовых выражений

А и В. Истинность неравенства А > В означает, что значение выражения

А больше значения выражения В, или значение выражения В меньше

значения выражения А. Таким образом, неравенство А > В может быть

записано в виде В < А.

К числовым неравенствам, как и к любым другим высказываниям,

применимы логические операции. Так, конъюнкция двух неравенств

истинна, поскольку истинны оба неравенства. Для со-

кращения записи такую конъюнкцию выражают в виде двойного нера-

венства 6 < 7 < 8. В общем виде истинность двойного неравенства

А < В < С означает истинность конъюнкции:

.

Кроме того, на практике часто приходится рассматривать дизъ-

юнкцию числового неравенства и числового равенства. Так, дизъюнк-

циииобе истинны, поскольку истинны

по одному из составляющих высказываний. Для сокращения записи та-

кие дизъюнкции обозначают, соответственно, символами 3 < 5 и 3 < 3.

51

Доказательство. Истинность неравенства А > В означает, что зна-

чение числового выражения А больше значения числового выражения

В. Обозначив значения числовых выражений А и В через а и b, соответ-

ственно, можем записать. По определению отношения «больше»

на множестве действительных чисел R, это означает существование

действительного числатакого, что.

Далее, по следствию из теоремы 1.2 для числовых равенств, име-

ем:или. Последнее неравенство означает, что

52

Доказательство. По свойству 5°, можем записать

=>Посвойствунуля,имеем

Далее, применяя свойства коммута-

тивности и ассоциативности сложения, получим. Из

последнего неравенства на основании свойства 5° получаем требуемое

неравенство

Аналогично можно доказать, что

Теорема 1.9 (обратная теореме 1.8). Если из обеих частей вер-

ного неравенства вычесть одно и то же число, то снова получим

верное неравенство:

Используя теоремуДоказательство. По условию

1.8, прибавим к обеим частям последнего неравенства число -с, получим

. А теперь, пользуясь ассоциативным законом

сложения, можем записать:.

По определению противоположного числа, имеем, а за-

.тем, по правилу сложения с нулем, получим

.Аналогично доказывается, что

Следствие 1.3. Любое слагаемое можно переносить из одной ча-

сти неравенства в другую с противоположным знаком.

53

Доказательство.Потеореме1.8,можемзаписать

>. Теперь восполь-

зуемся свойством транзитивности отношения «больше» и получим, что

. Тем самым справедливость теоремы доказана.

Аналогично доказывается справедливость утверждения:

Теорема 1.11. Верные неравенства противоположного смысла

можно почленно вычитать, сохраняя знак неравенства, из которо-

го вычитали:

Доказательство.– по определению истинных

неравенств,– по теореме 1.10,>

– по следствию из теоремы 1.9. Теперь, используя

правило силлогизма, можем записать:

Утверждениедоказывается ана-

логично.

Теорема 1.12. а) Обе части верного неравенства можно умно-

жить на одно и то же положительное число, не меняя знака нера-

венства, и снова получим верное неравенство:

б) Обе части верного неравенства можно умножить на одно и

то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на проти-

воположный, и снова получим верное неравенство:

Доказательство. а)– по свойству 5° нера-

венств. Далее, по правилу знаков при умножении, можем записать:

54

. По свойству дистрибутивности

относительновычитаниядействительныхчисел:

А теперь, по свойству 5° неравенств:

Справедливость утверждения б) проверяется совершенно анало-

гично.

В качестве упражнений предлагаем доказать следующие предло-

жения:

Теорема 1.13 (обратная теореме 1.12). а) Обе части верного не-

равенства можно разделить на одно и то же положительное чис-

ло, не меняя знака неравенства, и снова получим верное неравен-

ство:

б) Обе части верного неравенства можно разделить на одно и

то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на проти-

воположный, и снова получим верное неравенство:

Доказательство. а)

– по правилу знаков. Затем по

теореме 1.12 а), можем записать:

Воспользовавшись ассоциативностью умножения, получим неравенство

, которое по свойству взаимно-обратных чисел можно

переписать в виде а ⋅ 1 > b ⋅ 1, а это означает, что а > b. Справедливость

утверждения, б) доказывается похоже. Кроме того, справедливы анало-

гичные утверждения для отношения «меньше»:

55