Теорема 2.5. (∀a, b, c ∈ N 0 )(a = b ⇒ a + c = b + c )

Доказательство теоремы проведем методом математической ин-

дукции по числу с. Пусть а и b – целые неотрицательные числа, вы-

бранные произвольно.

1. а = b => а + 0 = b + 0 в силу аксиомы 2.5 сложения.

2. Пусть а = b => а + с = b + с для некоторого произвольно вы-

бранного числа с.

3. Покажем, что а = b => а + с' = b +с'.

Действительно, по предположению а = b => а + с = b + с, а по ак-

сиоме 2.2 Пеано отсюда следует, что (а + с)' = (b +с)'. Из последнего ра-

венства по аксиоме 2.6 сложения имеем а + с' = b +с', а это означает,

что а = b => а + с' = b +с'. Справедливость теоремы 2.5 доказана.

2.1.3. Умножение целых неотрицательных чисел

План

1. Существование и единственность умножения.

2. Таблица умножения.

3. Законы умножения.

Содержание

1. Прежде чем ввести умножение целых неотрицательных чисел, об-

ратим внимание на некоторые свойства умножения, известные из школь-

ного курса математики. Если любое целое неотрицательное число а

умножить на нуль, то получим нуль, то есть имеет место равенство

а • 0 = 0. При умножении числа а на число b ≠ 0 воспользуемся известным

фактом: если знаем, что 3 • 6 = 18, то для нахождения произведения 3 • 7

достаточно к 18 прибавить 3, так как 3 • 7 = 3 • (6 + 1) = 3 • 6 + 3 =18 + 3.

Таким образом, в общем виде а(b + 1) = аb + а, или а • b' = a • b + а.

122

2.8 (∀a, b ∈ N 0 )(a ⋅ b′ = a ⋅ b + a ) .

Число а • b называют произведением чисел а и b, а сами числа

а и b – множителями.

Здесь и в дальнейшем вместо а • b можно писать ab.

Теорема 2.6. Умножение целых неотрицательных чисел суще-

ствует и единственно.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.2.

Для доказательства единственности умножения предположим, что во

множестве N 0 существуют две операции умножения, удовлетворяющие

аксиомам 2.7 и 2.8. Обозначим одну из них знаком •, а другую – ⊗ . По

определению 2.3 умножения имеем:

1. а • 0 = 0.

2. а • b' = а • b + a.

Аналогично для операции ⊗ можем записать:

1. а ⊗ 0 = 0.

2. а ⊗ b' = а ⊗ b + a.

Выберем произвольно некоторое целое неотрицательное число а и

докажем, что при этом а и любом b выполняется равенство

а•b=а

⊗

b

(2.4)

Доказательство проведем методом математической индукции.

1. Пусть b = 0. Тогда справедливость равенства (2.4) очевидна.

Действительно, а • 0 = 0= а ⊗ = 0, то есть а • 0 = а ⊗ 0.

2. Предположим, что равенство (2.4) выполняется для некоторого

произвольно выбранного целого неотрицательного числа b.

123

0•b=0

(2.5)

1. Если b = 0, то 0 • 0 = 0, а это означает, что выполнена аксиома 1

умножения а • 0 = 0 при а = 0 .

2. Предположим, что умножение по правилу (2.5) удовлетворяет

аксиомам умножения для некоторого произвольно выбранного целого

неотрицательного числа b.

3. Используя предположение, докажем, что умножение про прави-

лу (2.5) удовлетворяет аксиомам 2.7 и 2.8 для числа b'.

Пользуясь правилом (2.5) и аксиомой сложения 2.7, можем запи-

сать 0 • b' = 0 = 0 • b + 0, а это означает выполнимость аксиомы 2.8

умножения а • b'= а • b + а при а = 0.

Таким образом, существование алгебраической операции, удовле-

творяющей аксиомам 2.7 и 2.8 умножения, для а = 0 доказано.

124

а' b = а b + b.

(2.6)

По предположению II произведение ab определяется однозначно, а

ввиду однозначности сложения и сумма ab + b определяется единствен-

ным образом. Проверим выполнимость аксиом 2.7 и 2.8 умножения.

1. Пусть b = 0, тогда по правилу (2.6) а' • 0 = а •0 + 0 = 0 + 0 = 0,

то есть а' • 0 = 0. Последнее равенство означает выполнимость аксиомы

2.7 умножения для а'.

2. Предположим, что умножение по правилу (2.6) удовлетворяет

аксиомам 2.7 и 2.8 при некотором произвольно выбранном b.

3. Опираясь на предположение, докажем выполнимость аксиом 2.7

и 2.8 умножения при b'.

a'b' = ab' + b' = (ab + a) + b' = аb + (а + b') = аb +(а + b)' = аb + (b + а)'

= ab + (b + а') = (ab + b) + а' = a'b + a', то есть a'b' = a'b + а'. Последнее ра-

венство означает выполнимость аксиомы 2.8 умножения для а'.

Итак, выполнены все условия метода математической индукции,

и справедливость теоремы доказана.

2. Используя определение 2.3, теорему 2.6 и таблицу сложения,

можно составить таблицу умножения однозначных целых неотрица-

тельных чисел. Составляется она, как и таблица сложения, поэтапно:

сначала рассматривается умножение любого числа на нуль и нуля

на любое число, затем – умножение любого числа на единицу и едини-

цы на любое число, затем – числа два на числа: два, три, четыре и т. д.

На основании аксиомы 2.7 умножения

а) 0 • 0 = 0; 1 • 0 = 0; 2 • 0 = 0; 3 • 0 = 0; ....

На основании аксиомы 2.8 умножения и таблицы сложения:

125

в) 1 • 1 = 1 • 0'= 1 • 0+1 = 0 + 1 = 1

2 • 1 = 2 • 0'= 2 • 0 + 2 = 0 + 2 = 2

3 • 1 = 3 • 0' = 3 • 0 + 3 = 0 + 3 = 3

4 • 1 = 4 • 0' = 4 • 0 + 4 = 0 + 4 = 4

............................................................

г) 1 • 2 = 1 • 1' = 1 • 1 + 1 = 1 + 1 = 2

1 • 3 = 1 • 2' = 1 • 2 + 1 = 2 + 1 = 3

1 • 4 = 1 • 3' = 1 • 3 + 1 = 3 + 1 = 4

1 • 5 = 1 • 4' = 1 • 4 + 1 = 4 + 1 = 5

............................................................

д) 2 • 2 = 2 • 1' = 2 • 1 + 2 = 2 + 2 = 4

2 • 3 = 2 • 2' = 2 • 2 + 2 = 4 + 2 = 6

2 • 4 = 2 • 3'= 2 • 3 + 2 = 6 + 2 = 8

2 • 5 = 2 • 4' = 2 • 4 + 2 = 8 + 2= 10

Продолжая описанный процесс, получим всю таблицу умножения.

3. Как известно, умножение целых неотрицательных чисел комму-

тативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Спра-

ведливость всех этих законов может быть доказана на основании акси-

ом 2.1-2.4 Пеано, определений сложения и умножения, а также ранее

доказанных теорем.

Теорема 2.7. (Коммутативный закон умножения)

(∀a, b ∈ N 0 )(a ⋅ b = b ⋅ a )

Доказательство поведем методом математической индукции по а.

Пусть b – произвольно выбранное целое неотрицательное число.

1. Покажем, что 0 • b = b • 0.

1) b = 0, 0 • 0 = 0 • 0.

2) Пусть 0 • b = b • 0 для произвольного числа b.

126

(∀a, b, c ∈ N 0 )(a(b + c ) = ab + ac )

Доказательство. Пусть а и b – произвольные целые неотрица-

тельные числа.

1. Если с = 0 , то а(b + 0) = аb + а • 0. Действительно, а(b + 0) = аb

и аb + а • 0 = аb + 0 = аb.

2. Пусть дистрибутивный закон выполняется для некоторого про-

извольно выбранного числа с.

3. Пользуясь предположением, докажем справедливость равенства

а(b + с') = аb + ас'.

а(b + с') = а(b + с)' = а(b + с) + а = аb + ас + а = аb + (ас + а) = аb + ac'.

Так как числа а и b выбраны произвольно, то теорема верна для

любых чисел а, b и с.

Следствие 2.1. Из теорем 2.7 и 2.8 вытекает равенство

(∀a, b, c ∈ N 0 )((b + c )a = ba + ca ).

127