1.1.4. Прямая и обратная пропорциональность

План

1.

2.

3.

4.

Определение прямой пропорциональности.

Свойства прямой пропорциональности.

Обратная пропорциональность.

Свойства обратной пропорциональности.

Содержание

1. Если t – время движения пешехода (в часах), s – пройденный

путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то

зависимость между этими величинами можно выразить формулой

s = 4t. Так как каждому значению t соответствует единственное значе-

ние s, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана

функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют

следующим образом.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функ-

ция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где

k – не равное нулю действительное число.

Название функции у - kх связано с тем, что в формуле у = kх есть

переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если от-

ношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их

называют прямо пропорциональными. В нашем случае

y= k (k ≠ 0 ). Это

x

число называют коэффициентом пропорциональности.

Функция у = kх является математической моделью многих реаль-

ных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.

Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2

кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим

ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, то есть зависи-

мость между количеством пакетов и всей массой купленной муки явля-

ется прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.

31

пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежа-

щую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту

точку и начало координат провести прямую.

Например, чтобы построить график функции у = 2х (см. рис. 1.19),

достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и нача-

ло координат провести прямую.

3) При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определе-

ния; при k < 0 – убывает на всей области определения.

4) Если функция f – прямая пропорциональность и (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )

– пары соответственных значений переменных х и у, причем х 2 ≠ 0,

то

x1 y1

= .

x2 y 2

Действительно, если функция f – прямая пропорциональность,

то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у 1 = kx 1 , y 2 = kx 2 .

Так как при х 2 ≠ 0 и k ≠ 0, то у 2 ≠ 0. Поэтому

x1 y1

=

x2 y 2

y1 kx1 x1

== , и значит

y 2 kx2 x 2

Если значениями переменных х и у служат положительные дей-

ствительные числа, то доказанное свойство прямой пропорционально-

сти можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения

переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у

увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

32

можно выразить формулой ʋ · t = 20 или v =

20

Так как каждому значе-

t

20

задана функция. Ее

t

нию t (t ≠ 0) соответствует единственное значение скорости v, то можно

говорить о том, что с помощью формулы v =

называют обратной пропорциональностью и определяют следующим

образом.

Определение 1.8. Обратной пропорциональностью называется

функция, которая может быть задана при помощи формулы y = ,

где k – не равное нулю действительное число.

Название данной функции связано с тем, что в y =

k

есть перемен-

x

k

x

ные х и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение

двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называ-

ют обратно пропорциональными. В нашем случае ху = k (k ≠ 0). Это чис-

ло k называют коэффициентом пропорциональности.

Функция y =

k

является математической моделью многих реаль-

x

ных cитуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.

Одна из них описана перед определением обратной пропорцио-

нальности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в х

банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами

можно представить в виде х · у = 12, то есть она является обратной про-

порциональностью с коэффициентом k - 12.

33

1) Областью определения функции y =

k

и областью ее значений

x

х является множество действительных чисел, отличных от нуля.

2) Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

3) При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях

и функция y =

k

является убывающей на всей области определения х

x

(см. рис. 1.20).

При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях,

и функция y =

(см. рис. 1.20).

k

является возрастающей на всей области определения х

x

Рис. 1.20

4) Если функция f – обратная пропорциональность и (х 1 , у 1 ),

(x 2 , y 2 ) – пары соответственных значений переменных х и у, то

kkk

, y2 = .

x2xx1

y 2 k k k ⋅ x1 x1

= : == .Так как х 1 ≠ 0, х 2 ≠ 0 и k ≠ 0, то

y1 x 2 x1 x 2 ⋅ k x 2

x1 y1

=

x2 y 2

Действительно, если функция f – обратная пропорциональность, то

она может быть задана формулой y = , и тогда y1 =

Если значениями переменных х и у служат положительные дей-

ствительные числа, то это свойство обратной пропорциональности

можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения пе-

34