Еще одни неравные взаимоотношения

Что если мы создадим новую фигуру, над которой не будут сильно доминировать другие фигуры, но роль которой будет немного иной? Например, фигуру — эквивалент ножниц, но с обратным действием: она будет побеждает камень, но проигрывать бумаге? Ну-ка… Строительная машина (С), которая разбивает (побеждает) камень и проигрывает бумаге; при выпадении с ножницами — ничья, потому что обе фигуры особо невзаимодействуют. Теперь наша матрица выигрышей выглядит следующим образом:

	к	б	н	с
К	0	-1	+1	-1
Б	+1	0	-1	+1
Н	-1	+1	0	0
С	+1	-1	0	0

В данном примерени у одной фигуры нет какого-то особого преимущества перед другой, так что давайте перейдём к решению. Мы знаем, что к+б+н+с=1, а выигрыши К=Б=Н=С=0.

Итак, наша матрица будет выглядеть следующим образом:

0             -1            +1           -1            0

+1           0             -1            +1           0

[              -1            +1           0             0             0             ]

+1           -1            0             0             0

Меняем последовательность строк, чтобы показатели, неравные нулю, находились по диагонали, для этого меняем порядок строк:

+1           -1            0             0             0

-1            +1           0             0             0

[              +1           0             -1            +1           0             ]

0             -1            +1           -1            0

Суммируем две первые строки и получаем в первой строке показатели, равные 0, вычитаем третью строку из первой и получаем следующие результаты:

+1           -1            0             0             0

0             0             0             0             0

[              0             -1            +1           -1            0             ]

0             -1            +1           -1            0

Интересно, что все показатели во второй сроке равны 0 (в этом нет никакой полезной информации, это всего лишь означает, что 0 равен 0), и две последние строки совершенно одинаковые (что значит, что последняя строка лишняя и не сообщает нам никакой дополнительной информации).Таким образом, у нас остаётся только две строки полезной информации. Иначе говоря, у нас есть два уравнения (три, если посчитать к+б+н+с=1) и четыре неизвестные величины.

Это значит, что на самом деле решений для данного примера несколько, возможно, их бесконечно много.

Запишем решения:

• к-б=0, поэтому к=б

• -б+н-с=0, поэтому с=н-б

Заменяем величины в уравнении к+б+н+с=1 и получаем:

• б+б+н+(н-б)=1, поэтому б+2н=1, поэтому б=1-2н (и поэтому к=1-2н).

Заменяем величины в с=н-б и получаем с=н-1+2н, поэтому с=3н-1.

Таким образом, при помощи н мы можем вывести три другие переменные:

• б=1-2н

• к=1-2н

• с=3н-1

На первый взгляд может показаться, что для данного примера существует бесконечное количество решений: выберите любую величину для н и сможете посчитать соответствующие значения для б, к и с. Но можно сузить диапазон.

Каким образом? Давайте вспомним, что все эти переменные — это вероятности, то есть диапазон их значений должен быть от 0 (если событие никогда не происходит) до 1 (если событие происходит всегда).Вероятности никогда не могут быть меньше нуля или больше 1. С помощью этого правила мы можем ограничить диапазон для н. Начнем с того, что диапазон значения должен быть от 0 до 1.

Из уравнения с=3н-1 мы знаем, что н должно равняться минимум 1/3 (иначе с будет отрицательным) и максимально значение н может быть 2/3 (иначе с будет больше 100%). Если же мы посмотрим на б и к, мы узнаем, что диапазон значения н от 0 до 1/2. При совмещении двух величин диапазон н должен быть от 1/3 до 1/2. Это интересно: мы видим, что Ножницы в любом случае остаются незаменимым элементом любой стратегии, и их используют постоянно – от трети всего времени до доброй половины.

При условии, что нижняя граница (н=1/3), мы обнаруживаем следующее: б=1/3, к=1/3, с=0, и это тоже верная стратегия. При нижней границе (н=1/2) мы находим это: б=0, к=0, с=1/2. Мы также можем выбрать любую стратегию между этими значениями, скажем, н=2/5, б=1/5, к=1/5, с=1/5.

Есть ли среди этих стратегий какая-нибудь одна, которая лучше прочих, та, которая приносила бы победу чаще, чем остальные? К сожалению, для ответа на этот вопрос нужно поговорить о теории игр чуть больше, чем я сегодня рассчитывал, но, если вкратце, «это зависит от разных обстоятельств», и этот ответ основан на определенных предположениях о том, насколько рациональны ваши противники; могут ли игроки иногда ошибаться в своей стратегии; что игрокам известно о методах противников, и от многого другого. Давайте просто скажем, что все причины хороши, хотя, я уверен, профессионалы в области теории игр могут поспорить о том, что важнее чего.

Также мы можем сказать, что Строительная машина, вероятно, не самое лучшее дополнение к КНБ, поскольку ее присутствие допускает одну стратегию победы, где эту фигуру можно вообще игнорировать, и еще одну – где можно пренебречь и Б, и К. Это заставит задуматься, а зачем вообще тратить ресурсы разработки на ввод двух из трех фигур, которые могут вообще не использоваться, когда игроки набьют руку!