3.1.4. Функции принадлежности

По определению [15], функция принадлежности   характеризует субъективную меру (в диапазоне [0,1] ) уверенности эксперта в том, что четкое значение   соответствует нечеткому терму  . Наибольшее распространение в практических приложениях [84] получили треугольные, трапециевидные и колоколообразные (гауссовы) функции принадлежности, параметры которых позволяют менять форму функций.

Нами предлагается простая и удобная для настройки аналитическая модель функций принадлежности переменной   произвольному нечеткому терму   в виде:

(3.12)

где   и   -параметры настройки:   - координата максимума функции ,  ;   - коэффициент концентрации - растяжения функции (рис. 3.1). Для нечеткого терма   число   представляет наиболее возможное значение переменной  .

3.2. Объекты с дискретным выходом

3.2.1. Постановка задачи

Будем считать известными:

· множество решений  , соответствующих выходной переменной  ,

· множество входных переменных  ,

· диапазоны количественного изменения каждой входной переменной  ,   ,

· функции принадлежностей, позволяющие представлять переменные  ,   в виде нечетких множеств (3.6) или (3.8),

· матрица знаний, определенная по правилам, введенным в разделе 3.1.3.

Требуется: разработать алгоритм принятия решения, позволяющий фиксированному вектору входных переменных  ,   поставить в соответствие решение  .

Задача аппроксимации объекта с дискретным выходом схематически показана на рис. 3.2, где подчеркивается, что входы объекта могут задаваться тремя способами: а) числом, б) 2-лингвистическим термом, в) 3-по принципу термометра.

Идея метода, предлагаемого ниже для решения этой задачи состоит в использовании нечетких логических уравнений. Эти уравнения строятся на базе матрицы знаний или изоморфной ей системы логических высказываний (3.10) и позволяют вычислять значения функций принадлежности различных решений при фиксированных значениях входных переменных объекта. В качестве искомого решения выбирается решение с наибольшим значением функции принадлежности.

3.2.2. Нечеткие логические уравнения

Лингвистические оценки   переменных  , входящих в логические высказывания о решениях  (3.10), будем рассматривать как нечеткие множества, определенные на универсальных множествах  ,  ,  .

Пусть   - функция принадлежности параметра   нечеткому терму  ,  ,  ,  ;

 - зависящая от   переменных функция принадлежности вектора входных переменных  значению выходной переменной  ,  .

Связь между этими функциями определяется нечеткой базой знаний(3.11) и может быть представлена в виде следующих уравнений:

. . .

где   - логическое ИЛИ,   - логическое И.

Эти нечеткие логические уравнения получены из нечеткой базы знаний (3.11) путем замены лингвистических термов   и   на соответствующие функции принадлежности, а операций  и   - на операции   и .

Кратко систему логических уравнений можно записать следующим образом:

,    (3.13)

3.2.3. Алгоритм аппроксимации

Принятие решения  , которое соответствует вектору фиксированных значений входных переменных  , будем осуществлять в такой последовательности.

1°. Зафиксируем вектор значений входных переменных

 .

2°. Зададим функции принадлежности нечетких термов, используемых в нечеткой базе знаний (3.11) и определим значения этих функций для заданных значений входных переменных  .

3°. Используя логические уравнения (3.13) вычислим многомерные функции принадлежности   вектора   для всех значений  ,   выходной переменной  . При этом логические операции И( ) и ИЛИ ( ) над функциями принадлежности заменяются на операции min и max.

,

.

4°. Определим значение  , функция принадлежности которого максимальна:

.

Это и будет искомым решением для вектора значений входных переменных  .

Таким образом, предложенный алгоритм использует идею идентификации лингвистического терма по максимуму функции принадлежности, и обобщающий эту идею на всю матрицу знаний.

Вычислительная часть предложенного алгоритма легко реализуется на матрице значений функций принадлежности, полученной из матрицы знаний, путем выполнения операций min и max (рис. 3.3).

Приведенный алгоритм нахождения дискретных значений   выходной переменной   по заданному вектору фиксированных значений входных переменных   и матрице знаний позволяет аппроксимировать объект   с дискретным выходом.