1.1.6. Нечеткие числа

Введенный принцип обобщения является служит для переноса четких отношений в нечеткие. Например, его можно применить для определения нечеткой арифметики.

Определение 1.7. Нечеткое число это нечеткое множество  , определенное на множестве действительных чисел  , если его функция принадлежности нормальна и выпукла, т. е.

 ,

 .

Примеры нечетких чисел: <около 5>, <чуть больше 7>.

В соответствии с принципом обобщения, арифметические операции над нечеткими числами имеют вид:

·   сложение  , 

·   вычитание  , 

·   умножение  , 

·   деление  , 

К сожалению, использование принципа обобщения для определения арифметических операций над нечеткими числами в общем довольно неэффективно. Поэтому часто предполагается, что нечеткие числа представляются в  -форме, что соответствует описанию левой (left) и правой (right) частей функции.

Нечеткое число   представляется в  -форме, если:

,

где   и   - функции, обладающие свойствами:

а) 

б) 

в)   монотонно убывает она промежутке  .

Здесь  - среднее значение нечеткого числа  ,  -отклонение слева,  - отклонение справа.

Если  , то нечеткое число   переходит в четкое число  .

Таким образом,  -форму нечеткого числа   можно представить в виде тройки  . Арифметические операции над нечеткими числами можно определить через операции над соответствующими им тройками:

На практике  -представление упрощается за счет применения линейных функций, что приводит к треугольным нечетким числам (рис. 1.2а), которые имеют функцию принадлежности вида:

,

Кроме того, получили распространение трапециевидные формы функций принадлежности (рис. 1.2б), которые имеют функции принадлежности вида:

 .

1.1.7. Нечеткость и вероятность

Новички в теории нечетких множеств часто пытаются сопоставить ее с теорией вероятности. Однако, обе эти теории трудно сравнивать поскольку они по-разному формализуют неопределенность. В теории вероятностей рассматривается статистическая неопределенность, например, вероятность поражения цели равна 0.9. Теория нечетких множеств позволяет работать с лингвистической неопределенностью, например, меткий стрелок. Эти виды неопределенности формализуются с помощью:

·   функций распределения - в теории вероятностей,

·   функций принадлежности - в теории нечетких множеств.

Принципиальное различие двух указанных распределений иллюстрирует пример, который любит приводить основоположник теории нечетких множеств Л. Заде [85].

Пример 1.8. Рассмотрим утверждение <Автор съедает   яиц на завтрак>,

.

Величине  , которая является неопределенным параметром, могут соответствовать распределения возможности и вероятности.

Распределение возможности   может быть интерпретировано как степень (субъективная мера) легкости, с которой Автор съедает   яиц. Для определения вероятностного распределения  необходимо проследить за Автором на протяжение 100 дней.

Оба распределения представлены ниже.

Распределение возможности и вероятности

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1	1	1	0.8	0.6	0.4	0.2
	0.1	0.8	0.1	0	0	0	0	0

Мы видим, что высокая степень возможности   никак не означает такую же высокую степень вероятности  . Но бесспорно одно: если событие невозможно, то оно также и невероятно.

Принципиальное отличие теории вероятности от теории возможности состоит в том, что в этих теориях по-разному выполняется аксиома дополнения:

 - для теории вероятности.

 - для теории возможности.