1.1.2. Свойства нечетких множеств
а)
нечеткое множество
пустое,
т.е. 
,
если 
, 
.
б)
нечеткие множества
и 
эквивалентны,
т.е. 
,
если
,
.
в)
нечеткое множество
является
подмножеством нечеткого множества
,
т.е. 
,
если 
,
.
Пример 1.2. Пусть 
,
0.3/1 + 0.5/2 + 1/3,
0.4/1
+ 0.6/2 + 1/3.
Тогда .
Кардинальное число (мощность) нечеткого множества
находится следующим образом:
.
Пример
1.3. Если 
и
0.1/1
+ 0.4/2 + 0.7/3 + 1/4,
то 
=2.2.
1.1.3. Операции над нечеткими множествами
а) Дополнением нечеткого
множества
называется
нечеткое множество 
,
функция принадлежности которого равна:
,
.
б) Пересечением двух
нечетких множеств
и 
называется
нечеткое множество 
,
функция принадлежности которого равна:
,
,
где 
-
знак операции минимума.
в) Объединением двух
нечетких множеств
и
называется
нечеткое множество 
,
функция принадлежности которого равна:
,
,
-
знак операции максимума.
Пример
1.4. Пусть 
,
<малые числа> = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.5/4 + 0.3/5 + 0.1/6,
<большие числа> = 0.1/5 + 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10,
Тогда
<НЕ
малые числа> = 0.2/3 + 0.5/4 + 0.7/5 + 0.9/6 + 1/7 + 1/8
+ 1/9 +1/10,
= <малые числа> И <большие числа> = 0.1/5 + 0.1/6,
= <малые числа> ИЛИ <большие числа> = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.5/4 + 0.3/5 + 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10.
Приведенные
определения операций над нечеткими
множествами являются наиболее
распространенными, однако существуют
и другие определения, использующие 
и 
нормы
[84].
Определение
1.2.
нормой называется
отображение 
:
,
если:
а) a t 1 = a
б) a t b = b t a
в) a
t b 
c
t d,
если a
c, b
d
г) a t b t c = a t (b t c).
Примеры норм:
-
наиболее распространенная,
,
, 
.
Определение
1.3.
нормой называется
отображение 
:
,
если:
а) a s 0 = a
б) a s b = b s a
в) a s b c s d, если a c, b d
г) a s b s c = a s (b s c).
Примеры норм:
-
наиболее распространенная,
,
.
1.1.4. Некоторые дополнительные понятия
Определение
1.4. 
срезом
(множеством уровня 
)
нечеткого множества
,
называется (четкое) множество 
такое,
что
, 
.
Пример
1.5. Если 
1/1
+ 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4, то 
, 
, 
.
Принцип обобщения [15] дает формальный аппарат для переноса операций (арифметических, алгебраических) с обычных множеств на нечеткие.
Пусть
функция 
представляет
собой отображение 
и
есть
нечеткое множество в
.
В соответствии с принципом обобщения,
функция
отображает
нечеткое множество
в
нечеткое множество 
такое,
что:
.
Пример
1.6. Пусть 
, 
и 
.
Если теперь 0.1/1 + 0.2/2 + 0.7/3 + 1/4, то 0.1/3 + 0.2/4 + 0.7/5 +1/6.
1.1.5. Нечеткие отношения
Пусть 
и 
.
Определение
1.5. Нечетким
отношением 
называется
нечеткое множество, определенное на
декартовом произведении 
,
которому соответствует функция
принадлежности 
.
отражает
силу зависимости между
и 
.
Пример
1.7. Пусть 
{
конь, осел } и 
{
мул, корова }. Нечеткое отношение
<подобный> может быть определено
следующим образом:
<подобный>
= 0.8/(конь, мул) + 0.4/(конь, корова) + 0.9/(осел,
мул) + 0.5/(осел, корова) ,
т. е. конь похож на мула со степенью 0.8, конь похож на корову со степенью 0.4 и т.д.
Определение
1.6.
Если 
и 
,
то max-min
композицией называется
нечеткое множество 
,
определенное на 
,
функция принадлежности которого имеет
вид:
Max-min
композиция позволяет ответить на вопрос,
какое нечеткое множество в 
следует
поставить в соответствие нечеткому
множеству 
,
если известно, что нечеткое
множество
соответствует
нечеткому множеству
.
Операция нахождения такого соответствия называется нечетким логическим выводом и выполняется по следующей формуле:
,
где - нечеткое отношение:
,
-
max-min композиция, в соответствии с которой:
,
, 
.