8.8.4. Связь с функциями Ляпунова

Покажем, что известные в теории устойчивости функции Ляпунова можно использовать для синтеза нечетких правил управления динамической системой.

Второй, или прямой, метод Ляпунова [20] позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. Критерий устойчивости был разработан Ляпуновым на основании следующего простого физического представления о положении равновесия: равновесное состояние системы асимптотически устойчиво, если все траектории процесса, начинающиеся достаточно близко от точки равновесия, идут таким образом, что приводят к минимуму, подходящим образом определенную, <энергетическую> функцию, причем положение локального минимума энергии соответствует самой точке равновесия.

Рассмотрим использование этого критерия применительно к общему нелинейному уравнению:

, , (8.31)

где x - вектор состояния системы.

Предположим, что и функция f непрерывна в окрестности начала координат.

Определение функции Ляпунова. Функция называется функцией Ляпунова (энергетической функцией) системы (8.31), если:

1)  ,

2)  для всех в окрестности начала координат,

3)  вдоль траектории системы (8.31).

Основной результат, полученный Ляпуновым, был сформулирован в виде следующей теоремы об устойчивости.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Положение равновесия системы (8.31) асимптотически устойчиво в том и только в том случае, если существует функция Ляпунова системы.

Подчеркнем, что метод Ляпунова требует знания уравнений динамики системы. Нас же будет интересовать случай, когда такие уравнения отсутствуют.

Вернемся к перевернутому маятнику (рис.8.26) и предположим, что известна лишь следующая априорная информация:

а) состояния системы определяются координатами и ;

б) пропорционально управлению u, т.е. если u возрастает (убывает), то возрастает (убывает).

Для применения теоремы Ляпунова к перевернутому маятнику, выберем кандидатом на функцию Ляпунова следующую функцию:

(8.32)

Поскольку и , то для того, чтобы была функцией Ляпунова, необходимо обеспечить:

(8.33)

Нечеткую базу знаний об управлении сформулируем как условия выполнения последнего неравенства. Для этого рассмотрим три случая.

Если и имеют противоположные знаки, то и неравенство (8.33) будет выполняться при .

Если и положительны, то (8.33) будет выполняться при .

Если и отрицательны, то (8.33) будет выполняться при .

Используя приведенные рассуждения и априорную информацию о том, что пропорционально u, получаем четыре нечетких правила устойчивого управления перевернутым маятником:

ЕСЛИ положительный И отрицательный,

ТО u нулевой,

ЕСЛИ отрицательный И положительный,

ТО u нулевой,

ЕСЛИ положительный И положительный,

ТО u большой отрицательный,

ЕСЛИ отрицательный И отрицательный,

ТО u большой положительный.

Настройка этой базы знаний может производиться путем подбора формы функций принадлежности соответствующих термов.

Принципиальные отличия классической и нечеткой систем управления представлены в табл. 8.37.

Таблица 8.37.

Сравнение систем управления

Тип системы	Достоинства	Недостатки
Классическая	Если имеется модель системы, адекватно описывающая ее динамику, то можно обойтись без настройки модели	Трудно получить дифференциальные уравнения, адекватно описывающие динамику системы с учетом различных нелинейных возмущений
Нечеткая	Дифференциальные уравнения не нужны. Модель динамики системы легко записывается в виде лингвистических правил.	Требуется настройка лингвистической модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аведьян Э.Д. Алгоритмы настройки многослойных нейронных сетей //Автоматика и телемеханика.- 1995.- № 4.- С. 106-118.

2. Азарова А.О., Юхимчук С.В. Математическая модель финансового риска на базе нечеткой логики // Управляющие системы и машины.- 1998.-№6.-С. 9-15.

3. Алексаков Г.Н., Гаврилин В.В., Федоров В.А. Структурные модели динамических процессов.- М.:МИФИ.- 1989.- 62 с.

4.Архангельский В.И., Богаенко И.Н., Грабовский Г.Г., Рюмшин Н.А. Системы фуцци-управления.- К.:Техн_ка.- 1997.-208 с.

5. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях.. В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. -М.: Мир.- 1976. - С.172-215.

6. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования.- Рига: Зинатне.- 1990. - 184 с.

7. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.- М.:Наука.-1987.-384 с.

8. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Вороновский Г.К., Махотило К.В., Петрашев С.Н., Сергеев С.А. - Харьков:Основа.- 1997.-212 с.

9. Герасимов Б.М., Тарасов В.А., Токарев И.В. Человеко-машинные системы принятия решений с элементами искусственного интеллекта.- К.: Наукова думка.- 1993.- 180 с.

10. Глушков В.М. Введение в АСУ. -Киев:Тэхника.-1974.-320 с.

11. Головенкин В.П. Оценка качества дипломных проектов и работ. - К.:УМК ВО.- 1989. - 27 с.

12. Джеффри Е. Хинтон. Как обучаются нейронные сети // В мире науки. - 1992. - № 11-12. - С. 103-110.

13. Дубовой В.М., Квєтний Р.Н. Програмування комп'ютерних систем автоматики _ управл_ння. - В_нниця: ВДТУ.- 1997.-185 с.

14. Дюбуа Д. Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике.-М.:Радио и связь.- 1990.-288 с.

15. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений.-М.:Мир.- 1976.-167 с.

16. Ивахненко А.Г., Лапа В.Г. Предсказание случайных процессов.- Киев:Наукова думка.- 1971.- 416 с.

17. Козак А.А., Кузнецов П.О., Ротштейн А.П. Анализ надежности информационно-измерительных систем на ранних этапах проектирования // Стандартизация и измерительная техника. - Вып. 2 . - Красноярск.- 1976. - С. 128-131.

18. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств.-М.:Радио и связь.- 1982.- 432 с.

19. Куссуль Э. М. Ассоциативные нейроподобные структуры. - К.: Технiка.- 1992. - 210 с.

20. Математические основы теории автоматического регулирования, т.I, Под ред Б. К. Чемоданова.- М.: Высш. школа.- 1977.- 366 с.

21. Мкртчян С.О. Нейроны и нейронные сети. - М.:Энергия.-1989.-178 с.

22. Мокин Б.И., Грабко В.В. Динь Тхань Вьет. Математические модели и информационно - измерительные системы для технической диагностики трансформаторных вводов.-Винница: ВГТУ, Универсум-Винница.- 1997.-130 с.

23. Накано Э. Введение в робототехнику. - М.: Мир.- 1988. - 334 с.

24. Нейрокомпьютеры и интеллектуальные роботы / под ред. Н.М. Амосова. - К.: Наукова думка.- 1991. - 272 с.

25. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова.-М.:Наука.-1986.-312 с.

26. Нечеткие множества и теория возможностей: последние достижения. Под. ред. Р.Р. Ягера. - М.:Сов. радио.-1986.-408 с.

27. Нечипоренко В.И. Структурный анализ систем (эффективность и надежность). - М.: Сов. радио. - 1977. - 216 с.

28. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.:Наука.- 1983. -384 с.

29. Поспелов Д.А. Большие системы. Ситуационное управление.-М.:Знание.- 1975.-64 с.

30. Растригин Л.А. Этот случайный, случайный, случайный мир. -М.: Молодая гвардия.- 1974. - 207 с.

31. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: в 2-х кн.-М.:Мир.- 1986.-320 с.

32. Ротштейн А.П., Кательников Д.И. Идентификация нелинейных объектов нечёткими базами знаний //Кибернетика и системный анализ.-1998.-№5.-С.53-61.

33. Ротштейн А.П., Лойко Е.Е., Кательников Д.И. Прогнозирование количества заболеваний на основе экспертно-лингвистической информации //Кибернетика и системный анализ. -1999.-№2.- С.178-185.

34. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике. - Винница:Континент-Прим.- 1996. - 132с.

35. Ротштейн А.П., Митюшкин Ю.И. Идентификация нелинейных зависимостей нейронными сетями // Проблемы бионики.- 1998.-№49.-С.168-174.

36. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Нечеткая надежность алгоритмических процессов.- Винница: Континент-Прим.-1997.- 142 с.

37. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Прогнозирование надежности алгоритмических процессов при нечетких исходных данных // Кибернетика и системный анализ.- 1998.- № 4.- С.85-93.

38. Ротштейн О.П., Васюра А.С., Черноволик Г.О. Ранжування студент_в на баз_ парних пор_внянь _ неч_тких множин //В_сник ВП_.-1997.-№2.-С.93-96.

39. Ротштейн О.П., Єгоров С.О., Черноволик Г.О. Оц_нка якост_ дипломного проектування на основ_ неч_ткої лог_ки // В_сник ВП_. -1995.- №4(9).- С. 52-58.

40. Ротштейн О.П., Жупанова М.О., Шеверда В.М. Диференц_йна д_агностика _шем_чної хвороби серця на основ_ неч_ткої лог_ки //В_сник ВП_.- №3. - 1994.-C. 32-38.

41. Ротштейн О.П., Ларюшк_н Є.П., Катєльн_ков Д._. Багатофакторний анал_з технолог_чного процесу б_оконверс_ї на основ_ л_нгв_стичної _нформац_ї // В_сник ВП_.-1997. -№3.- С.-38-45.

42. Ротштейн О.П., М_тюшк_н Ю._. Застосування нейронних мереж для _дентиф_кац_ї нел_н_йних залежностей // Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах. - 1998. - №3.- С. 9-15.

43. Ротштейн О.П., М_тюшк_н Ю._. Нейро-л_нгв_стична _дентиф_кац_я нел_н_йних залежностей // Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах.-1998.-№4.- C. 5-12.

44. Ротштейн О.П., ПєтухА.М., Петренко М._., Войтко В.В. Вар_антний анал_з на баз_ неч_тких парних пор_внянь: методика та застосування на приклад_ пор_вняння сем_отичних систем // Вим_рювальна обчислювальна техн_ка в технолог_чних процесах. - 1998. - №2. - С. 17 - 24.

45. Ротштейн О.П., Ребедайло В.М., Кашканов А.А. _дентиф_кац_я коеф_ц_єнта зчеплення кол_с автомоб_ля з дорожн_м покриттям на неч_тк_й лог_ц_ //Вим_рювальна та обчислювальна техн_ка в технолог_чних процессах.-1998.-№2.-С. 23-29.

46. Ротштейн О.П., Черноволик Г.О., Ларюшкин Е.П. Метод побудови функц_й належност_ неч_тких множин // В_сник ВП_. - 1996. - №3. - С.72-75.

47. Ротштейн О.П., Штовба С.Д. Оц_нка над_йност_ алгоритм_чних процес_в при неч_тких початкових даних // В_сник ВП_.-1996.-№2.-С.30-37.

48. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем.- М: Радио и связь.- 1991.- 224 с.

49. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. - М.: Сов. радио.-1977.-304 с.

50. Сучанский М.Е. Рассуждения о физических системах на качественном уровне //Техническая кибернетика.- 1992.- №5.- С. 82-97.

51. Хартман К. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. - М.: Мир. - 1977. - 552 с.

52. Хубка В. Теория технических систем. - М.: Мир.-1987. - 208 с.

53. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука.- 1984. - 320 с.

54. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. - М.: Энергоатомиздат.- 1987. - 81 с.

55. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.-М.:Мир.- 1975.-321 с.

56. Baldwin I.F., Pilsworth B.W. A model of Fuzzy Reasoning through Multivalued Logic and Set Theory //International J. Man-Mach. Studies.- 1979.- №11.- p.351-380.

57. Bojadziev G., Bojadziev M. Fuzzy Logic for Business, Finance and Management //Advances in fuzzy systems.- 1997.- Vol 12. World Scientific.- 232 p.

58. Gen, M., Cheng, R. Genetic Algorithms and Engineering design.- John Wiley & Sons.- 1997.-352 p.

59. Haupt R., Haupt S. Practical Genetic Algorithms.- John Willey & Sons.- 1998.- 177 p.

60. Hung S.L., Adeli H. Machine Learning.- John Willey & Sons.- 1995.- 211 p.

61. Kacprzyk J. Multistage Fuzzy Control: A model-based approach to fuzzy control and decision making.- John Willey & Sons.- 1997.- 327p.

62. Margoliot M., Langholz G. New approach to the design of fuzzy control rules. FUZZY'97 - International Conf. on Fuzzy Logic and its Application in Zichron, Israel, 1997.- p. 248-253.

63. Mayoraz Frederic, Thierry Cornu, Laurent Vulliet. Prediction of Slope Movements Using Neural Networks //Fuzzy Systems & A.I.-1995.-Vol.4.№1.- p.9-17.

64. Miller G.A. The Magic Number Seven Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information //Psychological Review.- 1956.- № 63.- p. 81-97.

65. Nauck D., Klawonn F., Kruse R. Foundation of Neuro-Fuzzy Systems.- John Willey & Sons.- 1997.- 305 p.

66. Nie J. Nonlinear time series forecasting: A fuzzy neural approach. // Neurocomputing.-1997.-Vol 16.№1.- p.63-76.

67. Rotshtein А. Design and Tuning of Fuzzy Rule-Based Systems for Medical Diagnosis. In N.-H. Teodorescu (ed): Fuzzy and Neuro - Fuzzy Systems in Medicine.- CRC Press.- 1998.-p.-243-289.

68. Rotshtein A. Fuzzy Models of Labour System Functioning Reliability and Quality //Ergonomics of Hybrid Automated Systems.- Elsevier.- 1992.- p. 139-145.

69. Rotshtein A. Fuzzy Reliability Analysis of Man-Machine Systems. In "Reliability and Safety Analysis under Fuzziness". Studies in Fuzziness. Vol. 4.- Phisica-Verlag, A Springer Verlag Company.- 1995.- p. 245-270.

70. Rotshtein A., Kashkanov A. Fuzzy Expert System for Identification of Car Wheels Adhesion Factor with a Road Surface. EUFIT'98 - 6-th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1998.- p. 1735-1740.

71. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I. Design and Tuning of Fuzzy If - Then Rules for Automatic Classification.. NAFIPS'98 - International Conf. in Tampa, USA, 1998. - p.50-55.

72. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I., Goldenberg L.N. Design and tuning of the fuzzy expert systems for medical diagnostics. BEMI'97 - International Workshop "Biomedical Engineering & Medical Informatics" in Gliwice, Poland, 1997.-p.106-110.

73. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I. Tuning of Fuzzy Rules for Nonlinear Objects Identification with Discrete and Continuous Output. EUFIT'98 - 6th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1998.- p. 929-934.

74. Rotshtein A. P., Katelnikov D.I., Zlepko S.M. Fuzzy rule-based expert system for differential diagnosis of ischemia heart disease. FUZZY'97 - International Conference "Fuzzy Logic and Its Applications" in Zichron, Israel, 1997.- p.367-372.

75. Rotshtein A. Modification of Saaty Method for the Construction of Fuzzy Set Membership Functions. FUZZY'97 - International Conference "Fuzzy Logic and Its Applications".in:Zichron, Israel, 1997.- p.-125-130.

76. Rotshtein A., Shtovba S. Fuzzy Logic - Algorithmic Fault Tree Analysis. EUFIT'96 - Fourth European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1996.- p. 1565-1569.

77. Rotshtein A., Shtovba S. Fuzzy Reliability Analysis and Optimization of Algorithmic Processes. EUFIT'97 - 5^th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing in Aachen, Germany, 1997.- p. 67-71.

78. Rummelhart, D. E. McClelland, J. L. Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition (vol. 1 & 2). .-The MIT Press.-1986. -320 c.

79. Rumelhart D.E., Hinton G,E., Williams R.J. Learning Internal Representation by Back - Propagation Errors //Nature.- 1986.-323.- p. 533-536.

80. Schneider M., Kandel A., Langholz G., Chew G. Fuzzy Expert System Tools.- John Willey & Sons.- 1996.- 198 p.

81. Tang K.S, Man K.F., Kwong S. and Q. He. Genetic Algorithms and their Applications //IEEE Signal Processing Magazine.- 1996.- Nov.- p. 22-36.

82. von Altrock C. Fuzzy Logic & NeuroFuzzy Applications Explained.-New Jersey:Prentice Hall PTR.- 1995.-350 p.

83. Yager R.R., Filev D.P. Essentials of Fuzzy Modelling and Control.- John Willey & Sons.-1994.- 388 p.

84. Zimmermann H.-J. Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems.- Kluwer:Dordrecht.-1987.- 335 p.

85. Zimmermann H.-J. Fuzzy Set Theory - and Its Applications.- Kluwer: Dordrecht.-1991.-315 p.