8.8.1. Объект управления
В качестве объекта управления рассматривается перевернутый маятник (рис. 8.26), т. е. стержень, зафиксированный относительно тележки с возможностью колебаний в продольно-вертикальной плоскости.
Задача системы управления состоит в удержании перевернутого маятника в вертикальном положении за счет смещения тележки. Более привычный вариант такой задачи - это удерживание в вертикальном положении палки на пальце. В [3] показано, что к такому классу задач сводится моделирование ракеты, сверхзвукового самолета, состава барж, толкаемых буксиром - всех тех объектов, в которых центр масс и точка приложения силы не совпадают.
Прежде чем перейти к дифференциальным уравнениям, описывающим управление перевернутым маятником, отметим что вертикальное положение палки на пальце достигается с помощью простых правил:
ЕСЛИ угол отклонения палки от вертикали большой, ТО следует быстро перемещаться в том же направлении.
ЕСЛИ угол отклонения палки от вертикали малый, ТО следует осуществить малое перемещение в том же направлении.
ЕСЛИ угол отклонения палки от вертикали равен нулю, ТО не следует перемещаться вообще.
8.8.2. Классическая модель управления
Следуя [23], введем
обозначения (рис. 8.26):
-
длина маятника,
-
масса маятника,
-
масса тележки,
-
ускорение свободного падения,
-
управляющая сила, приложенная к тележке,
и
-
горизонтальная и вертикальная
составляющие сил, действующих на
маятник,
-
угол отклонения маятника от вертикали,
-
момент второго порядка в плоскости
качания маятника,
.
Уравнение движения перевернутого маятника как объекта управления можно записать следующим образом [23]:
крутящий момент относительно точки G
;
смещение проекции точки G на ось y
;
смещение проекции точки G на ось x
;
перемещение тележки (параллельно оси x)
.
Линейная
аппроксимация этих уравнений при
условии управления углом
в
достаточно малой области (
,
,
,
)
позволяет упростить такую систему
уравнений и привести ее к виду:
;
;
;
.
Подставляя в первое уравнение выражения для и , найденные из остальных уравнений, получим дифференциальное уравнение движения перевернутого маятника в форме
(8.26)
Для удерживания маятника в вертикальном положении с помощью обычной системы управления с обратной связью зададим управляющую переменную в виде:
(8.27)
что соответствует пропорционально-дифференциальному (ПД) регулятору.
Для обеспечения устойчивости выберем значения коэффициентов:
,
,
что дает отрицательные значения корней
,
в характеристическом уравнении
,
соответствующем (8.26).
Таким образом, для удержания перевернутого маятника в вертикальном положении можно использовать управляющее воздействие
(8.28)
при котором уравнение устойчивого движения имеет вид:
(8.29)
В табл. 8.36
приведена динамика изменения переменных
(рад)
и
(рад/с)
полученная из (8.29) методом Рунге-Кутта,
при различных начальных условиях:
,
и
.
При решении уравнения (8.29) использовались
следующие значения параметров:
кг,
кг,
см,
м/с2
.
Таблица 8.36.
Поведение перевернутого маятника под управлением ПД-регулятора
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
0.175 |
0.0000 |
0.105 |
0.0000 |
0.035 |
0.0000 |
0.1 |
0.150 |
-0.3523 |
0.090 |
-0.2114 |
0.030 |
-0.0705 |
0.2 |
0.115 |
-0.3261 |
0.069 |
-0.1957 |
0.023 |
-0.0652 |
0.3 |
0.086 |
-0.2540 |
0.052 |
-0.1524 |
0.017 |
-0.0508 |
0.4 |
0.064 |
-0.1908 |
0.039 |
-0.1145 |
0.013 |
-0.0382 |
0.5 |
0.048 |
-0.1421 |
0.029 |
-0.0852 |
0.010 |
-0.0284 |
0.6 |
0.035 |
-0.1056 |
0.021 |
-0.0633 |
0.007 |
-0.0211 |
0.7 |
0.026 |
-0.0784 |
0.016 |
-0.0470 |
0.005 |
-0.0157 |
0.8 |
0.020 |
-0.0582 |
0.012 |
-0.0349 |
0.004 |
-0.0116 |
0.9 |
0.015 |
-0.0432 |
0.009 |
-0.0259 |
0.003 |
-0.0086 |
1.0 |
0.011 |
-0.0321 |
0.006 |
-0.0193 |
0.002 |
-0.0064 |
1.1 |
0.008 |
-0.0238 |
0.005 |
-0.0143 |
0.002 |
-0.0048 |
1.2 |
0.006 |
-0.0177 |
0.004 |
-0.0106 |
0.001 |
-0.0035 |
1.3 |
0.004 |
-0.0131 |
0.003 |
-0.0079 |
0.001 |
-0.0026 |
1.4 |
0.003 |
-0.0098 |
0.002 |
-0.0059 |
0.001 |
-0.0020 |
1.5 |
0.002 |
-0.0072 |
0.001 |
-0.0043 |
0.000 |
-0.0014 |
1.6 |
0.002 |
-0.0054 |
0.001 |
-0.0032 |
0.000 |
-0.0011 |
1.7 |
0.001 |
-0.0040 |
0.001 |
-0.0024 |
0.000 |
-0.0008 |
1.8 |
0.001 |
-0.0030 |
0.001 |
-0.0018 |
0.000 |
-0.0006 |
1.9 |
0.001 |
-0.0022 |
0.000 |
-0.0013 |
0.000 |
-0.0004 |
2.0 |
0.001 |
-0.0016 |
0.000 |
-0.0010 |
0.000 |
-0.0003 |
В дальнейшем табл. 8.36 будет использована как обучающая выборка для настройки нечеткой модели управления.