4.1. Нечеткое представление неопределенных параметров

Рассмотрим некоторый неопределенный параметр  , который может соответствовать вероятности, стоимости, времени или другому показателю. Для описания параметра   с помощью теории нечетких множеств этот параметр необходимо преобразовать к нечеткому числу  , т.е. задать функцию принадлежности.

В настоящем разделе предлагается два способа формирования функций принадлежности: трапециевидный и треугольный. Они позволяют использовать следующую экспертную информацию параметре:

·  название параметра  ;

·  диапазон   изменения значений параметра  ;

·  количество лингвистических термов, с помощью которых оценивается параметр  ;

·  название каждого лингвистического терма.

Определение 4.1. Трапециевидной формой нечеткого числа   (неопределенного параметра  ) будем называть четверку:

(4.1)

где   - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа   на нулевом  -уровне;

 - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа   на единичном  -уровне;

Интервал   будем называть оптимистической оценкой параметра  , а интервал   -пессимистической оценкой параметра  .

Такое представление соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.1, которая имеет следующий вид:

(4.2)

В этом случае носителем нечеткого числа   будет интервал   , а ядром -  .

Предложение 4.1. Если нечеткое число   задано в трапециевидной форме  , то переход к  -уровневому описанию

осуществляется по формулам:

(4.3)

(4.4)

Рис. 4.1. Нечеткое число   с трапециевидной функцией

принадлежности

Доказательство. Для перехода к  -уровневому описанию необходимо определить значение нечеткого числа   на любом  -уровне, т.е. найти такие  и  , что

,

где  и   - степени принадлежности элементов   и   нечеткому множеству  , соответственно.

Учитывая аналитический вид трапециевидной функции принадлежности (4.2) и подставляя  , получаем:

;  .

Отсюда следует, что

,  , 

Пример 4.1. Пусть вероятность ( ) безошибочного выполнения операции равна "около 0.9". Требуется задать эту информацию в виде нечеткого числа   с трапециевидной функцией принадлежности.

Решение. Согласно определению 4.1, число   представим в следующем виде:

где [0.8, 1] - пессимистическая оценка параметра  ;

[0.85, 0.95] - оптимистическая оценка параметра  .

Разложение нечеткого числа   по  -уровневым множествам имеет вид:

Пример 4.1 иллюстрируется на рис. 4.2,

Рис. 4.2. К примеру 4.1

Определение 4.2. Треугольной формой нечеткого числа   будем называть тройку вида:

(4.5)

где   - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа   на нулевом  -уровне;

 - значение нечеткого числа   на единичном  -уровне.

Такое описание соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.3, которая имеет следующий аналитический вид:

Носителем нечеткого числа   в этом случае является интервал  , а ядром, - число   . Интервал будем называть пессимистической оценкой, а число  , - оптимистической оценкой параметра  .

Рис. 4.3. Нечеткое число   с треугольной функцией принадлежности

Предложение 4.2. Если нечеткое число   задано в треугольной форме   то переход к  -уровневому описанию

осуществляется по формулам:

 ;  .

Доказательство. Треугольная форма неопределенного параметра является частным случаем трапециевидной формы при  . Подставляя   в формулы (4.3) и (4.4), получаем:

 ;  .

Пример 4.2. Пусть время ( ) выполнения операции составляет "около 2 сек". Требуется представить эту информацию в виде нечеткого числа   с треугольной формой функции принадлежности.

Решение. Согласно определению 4.2, нечеткое число   представим в следующем виде:

 ,

где [1.6, 2.2] и 2 - пессимистическая и оптимистическая оценки, соответственно, которые предполагаются известными.

Разложение числа   по  -уровневым множествам имеет вид:

 .

Пример 4.2 иллюстрируется на рис. 4.4.

        Рис. 4.4. К примеру 4.2                                   Рис. 4.5. Пример функций

принадлежности для   термов

Определение 4.3. l-формой неопределенного параметра   (нечет-кого числа  ) будем называть тройку вида:

(4.7)

где   - нижняя (верхняя) граница изменения параметра  ;

l - лингвистическая оценка параметра   диапазоне  , причем  .

 - линейно-упорядоченное по принципу от "меньшего" к "большему" множество лингвистических термов для качественной оценки параметра   (рис.4.5).

Допущение 4.1.  При переходе от l-формы (4.7) нечеткого числа   к трапециевидной форме (4.1) будем предполагать, следующее:

(1) носителем нечеткого числа   является интервал  ;

(2) размер ядра   нечетного числа   зависит oт мощности ( ) терм-множества  , носителя   и не зависит от лингвистической переменной;

(3) для любых соседних термов   и   :

 ,

где   и  - нижние границы ядра нечеткого числа  , выраженного лингвистическими оценками   и  , соответственно;

(4) для первого терма   ;

(5) для последнего терма  ;

Предложение 4.3. Если неопределенный параметр   задан  -формой нечеткого числа  , где  , то переход от  -формы к трапециевидной форме (4.1) осуществляется по формулам:

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

где   - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа  , оцениваемого лингвистическим термом  ;

 - нижняя {верхняя) граница ядра нечеткого числа  , оцениваемого лингвистическим термом  .

Доказательство. Из допущения 4.1(1) следует, что для любого лингвистического терма   :

 и  .

Учитывая, что размер ядра нечеткого числа определяется по формуле  , и, опираясь на допущения 4.1(2)-4.1(5), получаем, что в интервал   попадает ровно (2 -1) отрезков длиной  .

Отсюда,   . С учетом этого получаем:

для первого терма  :

 ;

 ;

для второго терма  :

 ;

для последнего терма  :

 ;

 .

Отсюда для любого терма  :

 ;

 .

Предложение 4.3 иллюстрируется рис .4.6.

Рис. 4.6. Переход от  -формы нечеткого числа к трапециевидной форме

в случае 4-х термов

Пример 4.3. Пусть вероятность обнаружения ошибок при визуальном контроле задана в виде  =<0.3, 0.8,выше средней>. При этом используется множество лингвистических оценок:

 = {низкая, ниже средней, средняя, выше средней, высокая}.

Необходимо представить число   в трапециевидной форме.

Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества  ) равно  =5. Лингвистическая оценка "выше средней" в множестве   имеет порядковый номер  =4. Применяя формулы (4.8)-(4.11) из предложения 4.3, получаем:

 ;

 ;

 ;

 .

Поэтому в трапециевидной форме:

=<0.3, 0.8, 0.63, 0.69>,

или в виде разложения по  -уровневым множествам:

.

Графическое изображение нечеткого числа   представлено на рис.4.7.

Рис. 4.7. К примеру 4.3

Допущение 4.2. При переходе от  -формы нечеткого числа   (4.7) к треугольной форме (4.5) будем предполагать следующее:

·  носителем нечеткого числа   является интервал  ;

·  для первого терма   :   ;

·  для последнего терма  :   ;

·  для соседних термов   и   ( ) расстояние между ядрами   является постоянной величиной,

где  ,  ,  ,   - ядра нечеткого числа   соответствующие термам  ,  , ,  .

Предложение 4.4. Если неопределенный параметр   задан  -формой нечеткого числа, где  , где  , то переход от  -формы нечеткого числа к треугольной форме (4.5) осуществляется по формулам:

(4.12)

(4.13)

(4.14)

где   - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа  , выраженного лингвистической оценкой  ;

 - ядро нечеткого числа  , выраженного лингвистической оценкой  .

Доказательство этого предложения аналогично тому, которое| использовалось в предложении 4.3. Предложение 4.4 иллюстрирует рис.4.8.

Пример 4.4. Пусть информация о времени выполнения контрольной операции задана  -формой нечеткого числа:

 = < 10, 19, высокое >.

Множество лингвистических оценок имеет вид:

 = { низкое, среднее, высокое, очень высокое }.

Требуется представить число   в треугольной форме.

Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества  ) равно четырем. Лингвистическая оценка <высокое> в множестве   имеет порядковый номер  =3. Применяя формулы (4.12)-(4.14), получаем:

 ;   ;

 .

Окончательно находим:

 =< 10, 19. 16 >.

Функция принадлежности нечеткого числа   показана на рис.4.9.

Рис. 4.8. Переход от  -формы к треугольной в случае пяти термов

Рис. 4.9. К примеру 4.4