4.3.3. Модифицированный принцип обобщения

Допущение 4.3. Будем предполагать, что функция

удовлетворяет следующим ограничениям:

  Область изменения любого аргумента непрерывна.

  На области определения функция дифференцируема.

  Множество аргументов   можно представить объединением не более, чем трех подмножеств   причем:

 ;

   ;

   ;

   .

Обратим внимание, что   - знакопеременная функция и для всех  , знак производной   не зависит от   т.е. :

 .

Перечисленные ограничения введены на основе анализа аналитических моделей, которые используются в практических расчетах.

Определение 4.8. Модифицированный принцип обобщения.

Пусть   - функция от   переменных, удовлетворяющая допущениям 4.3. Аргументы функции   - суть нечеткие числа в виде

 ,   .

Нечетким обобщением   назовем число:

 ,

где

Эквивалентность результатов применения модифицированного и известных принципов обобщения доказывается в следующем предложении.

Предложение 4.7. Если нечеткие числа представлены в виде разложения по  -уровневым множествам и функция   подчиняется допущениям 4.3, то результаты нечеткого обобщения по определениям 4.6 и 4.8 совпадают.

Доказательство. Если нечеткие числа задаются в виде  -уровневого разложения, то принцип обобщения Заде эквивалентен определению 4.7. Поэтому достаточно показать, что при допущениях 4.3 результаты применения определений 4.7 и 4.8 совпадают.

В предложении 4.6 доказано, что для любого  -уровня

;

 ,

где  ,   .

Теперь необходимо найти максимальное и минимальное значение функции для каждого  -уровня с учетом допущений 4.3.

Максимальное значение функции достигается при таких значениях аргументов:

,  , 

Это обусловлено тем, что любое приращение аргументов в пределах заданной области не увеличивает значение функции.

Минимальное значение функции достигается при таких значениях аргументов:

,  , 

Это обусловлено тем, что любое приращение аргументов в пределах заданной области не уменьшает значение функции.

Учитывая это, получаем следующую нечеткую модель:

 ,

где 

Совпадение полученных результатов с определением 4.8, свидетельствует о справедливости предложения 4.7. Целесообразность использования модифицированного принципа обобщения вытекает из следующего предложения.

Предложение 4.8. Модифицированный принцип обобщения обладает меньшей вычислительной трудоемкостью по сравнению с классическим принципом обобщения Заде.

Доказательство. Пусть   - количество аргументов функций, а  -количество  -уровней, на которых задан каждый аргумент. Рассмотрим трудоемкость применения каждого принципа.

Принцип обобщения Заде. Поскольку нечеткое число задается в   точках, то, в соответствии с предложением 4.5, для применения принципа обобщения Заде необходимо перебрать  вариантов.

Модифицированный принцип обобщения. В этом случае максимальное и минимальное значение функции находится аналитически для каждого из    -уровней. Поэтому число вариантов   . Отсюда следует существенно меньшая вычислительная трудоемкость (табл. 4.2).

Таблица 4.2.

Трудоемкость применения различных принципов обобщения

Принцип обобщения	Количество вариантов перебора
По Заде		16	100	4 096
Модифицированный		4	10	8