7.2. Метод построения функции принадлежности
Успешное использование теории нечетких множеств предусматривает наличие функций принадлежности, с помощью которых лингвистическая информация превращается в форму, пригодную для обработки на ЭВМ. Среди многих методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати [49]. Сложность использования этого метода обусловлена необходимостью нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества, на которой задается лингвистический терм.
Предлагаемый здесь метод тоже использует матрицу парных сравнений элементов универсального множества. Но в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т. е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений.
7.2.1.Постановка задачи
Пусть
S - некоторое свойство, которое
рассматривается как лингвистический
терм. Нечеткое множество, с помощью
которого формализуется терм 
,
представляет собой совокупность пар:
где 
-
универсальное множество, на котором
задается нечеткое множество 
; 
-
степень принадлежности элемента 
нечеткому
множеству 
.
Задача
состоит в том, чтобы определить
значения
для
всех 
.
Совокупность этих значений и будет
составлять неизвестную функцию
принадлежности.
7.2.2. Основные определения и соотношения
Метод, который предлагается для решения поставленной задачи, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены разные способы определения рангов элементов. Методика распределения надежности по элементам системы согласно их рангов приведена в книге [27].
В
нашем случае под рангом элемента 
будем
понимать число 
,
которое характеризует значимость этого
элемента в формировании свойства,
которое описывается нечетким термом
.
Допускаем, что выполняется правило: чем
больший ранг элемента, тем больше
степень принадлежности.
В дальнейшем введем такие обозначения:
, 
,
.
Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде соотношения:
(7.7)
до которого прибавляется условие нормирования:
(7.8)
Используя соотношение (7.7), легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.
Если
опорным является элемент 
с
принадлежностью 
то
, 
,
... , 
.
(7.9)
Для
опорного элемента 
принадлежностью 
получаем:
, 
,
..., 
.
(7.10)
И
наконец, для опорного элемента 
с
принадлежностью 
имеем:
,
..., 
.
(7.11)
Учитывая условие нормировки (7.8), из соотношений (7.9) - (7.11) находим:
(7.12)
Полученные
формулы (7.12) дают возможность вычислять
степени принадлежности
элементов 
к
нечеткому терму
двумя
независимыми путями:
1) по
абсолютным оценкам уровней 
,
,
которые определяются согласно методикам,
предложенных в теории структурного
анализа систем [17,27]. Для экспертных
оценок рангов можно использовать 9-ти
бальную шкалу (1 - наименьший ранг, 9 -
наибольший ранг) или принцип термометра,
который рассмотрен в главе 2.
2) по
относительным оценкам рангов 
, 
,
которые образуют матрицу:
(7.13)
Эта матрица обладает следующими свойствами:
а) она
диагональная, т. е. 
,
.
б)
элементы, которые симметричны относительно
главной диагонали, связаны зависимостью: 
.
в) она
транзитивна, т. е. 
,
поскольку 
.
Наличие
этих свойств приводит к тому, что при
известных элементах одной строки
матрицы
легко
определить элементы всех других строк.
Если известная 
-я
строка, т. е. элементы 
, 
,
то произвольный элемент 
находится
так:
, 
.
Поскольку
матрица (7.13) может быть интерпретирована
как матрица парных сравнений рангов,
то для экспертных оценок элементов
этой матрицы можно использовать 9-ти
бальную шкалу Саати: 
В
нашем случае эта шкала формируется
так:
1 -
при отсутствии
преимущества 
над 
;
3 -при слабом преимуществе над ;
5 -при существенном преимуществе над ;
7 -при явном преимуществе над ;
9-при абсолютном преимуществе над ;
2,4,6,8 - промежуточные сравнительные оценки.
Таким образом, с помощью полученных формул (7.12), экспертные знания о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.