5.3. Настройки -уровневых функций принадлежности

Функции принадлежности, которые использовались выше, настраивались лишь по двум параметрам:   - координата максимума;   - коэффициент сжатия-растяжения. В этом разделе используется   уровневое представление функций принадлежности, которые обеспечивают больше возможностей при настройке.

5.3.1. Аналитические модели функций принадлежности

Определение 5.2. Множеством уровня   нечеткого множества   в универсальном множестве  называется множество элементов  , степени принадлежности которых нечеткому множеству   не меньше числа  , т.е. если  - множество  -уровня для нечеткого множества  , то

.

Определение 5.3. Нечетким числом   называется такое нечеткое множество, для которого универсумом является множество действительных чисел 

Определение 5.4. Нечеткое число   на действительной прямой выпукло, если для любых действительных чисел  ,   выполняется следующее соотношение:

.

Определение 5.5. Нечеткое число   на действительной прямой называется нормальным, если  .

Будем рассматривать нечеткие множества, которые соответствуют выпуклым и нормальным нечетким числам. Тогда нечеткое множество   можно представить в виде разложения:

 ,

где   - нижняя (верхняя) граница нечеткого множества   на  -уровне.

Ограничимся рассмотрением конечного числа ( )  -уровней:

, причем   .

Это позволяет записать нечеткое множество   в следующем виде:

(5.26)

где  нижняя (верхняя) граница нечеткого множества   на уровне   .

Достаточное условие выпуклости нечеткого множества   имеет вид:

  (5.27)

Функции принадлежности нечеткого множества   можно поставить в соответствие код вида:

(5.28)

как показано на рис. 5.5.

Прежде чем сформулировать аналитическую модель функции принадлежности, которая будет соответствовать коду (5.28), заметим следующее:

а) если   или  , то  . Это следует из определения множества  -уровня;

б) если   как показано на рис. 5.6а, то значение   находится линейной интерполяцией по точкам   и  .

в) если  , то  , поскольку  .

г) если  , как показано на рис. 5.6б, то значение   находится линейной интерполяцией по точкам   и  .

д) если  , то   .

Используя линейную интерполяцию по точкам   и  , значения функции принадлежности в точке  , ( ) можно найти по формуле:

(5.29)

Используя эту формулу, получаем модель функции принадлежности соответствующей коду (5.28):

5.3.2. Настройки модели с дискретным выходом

При настройке нечеткой модели будем пользоваться соотношением (5.3), в котором исходные функции принадлежности представлены моделью (5.30). Для упрощения ограничимся случаем, когда веса правил не настраиваются. Тогда общий вид нечеткой модели представляется следующим образом:

 ,  (5.31)

где   - вектор входных переменных;

 - вектор, в который сведены коды   (5.28) функций принадлежности всех термов, используемых в нечеткой базе знаний (5.1). Этот вектор выглядит так:

где   - нижняя (верхняя) граница  -уровня для  -го терма оценки переменной  ,  ,  ,  ,

 - число рассматриваемых  -уровней,

 - число термов оценки входной переменной  .

 - оператор связи входы-выход, соответствующий применению соотношений (5.3) и (5.30).

Пусть обучающая выборка задана в виде   пар экспериментальных данных (5.9). Для нахождения вектора   (5.32), который минимизирует отклонение теории (5.31) от эксперимента (5.9), воспользуемся методом наименьших квадратов. Тогда задача оптимальной настройки нечеткой модели может быть сформулирована следующим образом: найти вектор  , удовлетворяющий ограничениям (5.27), который обеспечивает минимальное отклонение между желаемым и модельным векторами выходных функций принадлежности, т.е.:

(5.33)

где   - желаемый вектор функций принадлежности для  -й эксперимен-таль-ной точки, определяемый соотношением (5.8).