4.3. Нечеткое обобщение аналитических моделей

В этом разделе вводится принцип обобщения, который позволяет преобразовать аналитические модели таким образом, чтобы в качестве их параметров можно было использовать нечеткие числа.

4.3.1. Принцип обобщения Заде

Определение 4.6. Если задана функция от   переменных   и аргументы   - суть нечеткие числа   с носителями supp  ,   то нечеткое число  определяется следующим образом [6,15]:

(4.16)

Реализация этого принципа осуществляется по следующему алгоритму.

I°. Зафиксировать значение  .

2°.Найти все  -ки  , удовлетворяющие условиям:

,   ,  ,   .

3°.Степень принадлежности элемента   нечеткому числу   определить по формуле:

 .

4°. Проверить условие "Взяты все элементы  ?". Если "да", то перейти к шагу 5, иначе зафиксировать новое значение   и перейти к шагу 2.

5°. Конец.

Пример 4.6. Пусть заданы нечеткие числа

=0/1+1/2+1/3+0/4 и  =0/2+1/3+1/4+0/8.

Требуется найти нечеткое число   с использованием принципа обобщения.

Решение. Процесс решения сведен в табл.4.1. Из этой таблицы видно, что нечеткое число   определяется так:

=0/2+ 0/3 + 0/4 + 1/6 + 1/8 +1/9 + 1/12 + 0/16 + 0/24 +0/32.

Переходя к разложениям по  -уровневым множествам, получаем:

В этом примере применение принципа обобщения Заде потребовало перебора 16 вариантов.

Таблица 4.1 к примеру 4.6

	2	3	4		6		8			9	12		16		24	32
	1	1	1	2	2	3	1	2	4	3	3	4	2	4	3	4
	2	3	4	2	3	2	8	4	2	3	4	3	8	4	8	8
	0	0	0	1	1	1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
	0	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0
	0	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	0
	0	0	0		1		1			1	1		0		0	0

Предложение 4.5. Если   - функция от   нечетких аргументов  , каждый из которых задается функцией принадлежности в   точках универсального множества

 , 

тo для определения нечеткого числа   по принципу обобщения Заде необходимо перебрать  вариантов.

Доказательство этого предложения следует из элементарных комбинаторных рассуждений.

Из предложения 4.5 становится ясно, что применение известного принципа обобщения Заде [6,15] связано с большими вычислительными трудностями. Например, для нахождения только одного значения функции от семи аргументов (  = 7), каждый из которых задан на трех  -уровнях (   ), необходимо перебрать  = 6⁷ = 279 936 вариантов.

Для решения практических задач ниже будет предложен модифицированный принцип обобщения, не требующий трудоемких вычислительных процедур. Для доказательства его корректности введем  -уровневый принцип обобщения.

4.3.2.  -уровневый принцип обобщения

Определение 4.7. Если задана функция от нечетких аргументов  , в которой нечеткие числа представлены в виде разложения по  -уровневым множествам:

,  ,   .

то для любого  -уровня значение функции вычисляется по формулам:

 ;

 ,

где  ,  .

Эквивалентность  -уровневого принципа обобщения и классического принципа обобщения Заде доказывается в следующем предложении.

Предложение 4.6. Если задана функция от нечетких аргументов   и нечеткие числа представлены в виде разложения по  -уровневым множествам:

 ,   ,   .

то результаты нечеткого обобщения по определениям 4.6 и 4.7 совпадают.

Доказательство. Достаточно доказать, что определение 4.7 следует из определения 4.6. Вначале покажем, что для вычисления значения функции   на конкретном  -уровне достаточно знать значения аргументов только на этом  -уровне. В этом случае формула (4.16) преобразуется к виду:

(4.17)

Докажем, что применение значений аргументов на других  -уровнях не добавляет новых значений   со степенью принадлежности  . Доказательство выполним от противного. Рассмотрим аргумент  . Новое значение аргумента   обозначим через  . Предположим, что изменение аргумента   добавит новое значение   со степенью принадлежности  . Возможны следующие три случая:

Случаи 1:   и  .

В связи с тем, что нечеткие числа представлены в виде разложения по  -уровневым множествам, то из выполнения условия

 следует, что   Последнее означает, что аргумент   не изменяется. Поэтому новые значения   со степенью принадлежности   не появляются.

Случай 2:   и  .

Первое условие означает, что диапазон изменения   шире, чем  . В связи с этим  . В результате расширения диапазона изменения аргумента   может появиться новое значение  . Однако это новое значение   не может иметь степень принадлежности равную  , т.к. по формуле (4.16)  .

Таким образом, изменение аргумента не приводит к появлению новых значений   со степенью принадлежности  .

Случай 3:   и 

Первое условие означает, что диапазон изменения аргумента не расширился. Учитывая второе условие, получаем  . Отсюда следует, что диапазон изменения аргумента сузился, что означает невозможность появления новых значений  .

Таким образом, любое изменение аргумента   не приводит к появлению новых значений   со степенью принадлежности равной  . Аналогичные выкладки можно проделать для всех остальных аргументов. Это означает, что в случае представления нечетких чисел в виде разложения по  -уровневым множествам формула (4.17) справедлива.

Заметим, что

 .

Поэтому результат применения операций min и sup в (4.17) всегда равен  . Формула (4.17) дает ряд значений   со степенью принадлежности, равной  . Для перехода к  -уровневому представлению необходимо найти минимальное и максимальное значения:

 и 

Окончательно получаем:

;

,

где  ,  ,  .

Применение  -уровневого принципа обобщения сопряжено с необходимостью решения задачи оптимизации, которая формулируется следующим образом.

Дано: функция от   переменных  , в которой аргументы  ,  .

Требуется: найти такие значения аргументов  , которые обеспечивают максимальное   и минимальное   значение функции   на области определения  ,  .

В общем случае решение этой задачи является достаточно сложным. Однако, вводя ряд ограничений, свойственных peальным моделям, удается упростить решение оптимизационной задачи и получить достаточно простой алгоритм.