7.1.2. Нечёткие решения

Обратимся теперь к понятию решения. Интуитивно ясно, что решение - это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Предыдущий пример наводит на мысль, что расплывчатое решение, или просто решение, следует определить как нечёткое множество в пространстве альтернатив, получающееся в результате пересечения заданных целей и ограничений. Следующее определение уточняет эту мысль.

Определение 7.1. Пусть в пространстве альтернатив   заданы нечёткая цель   и нечёткое ограничение  . Тогда нечёткое множество  , образуемое пересечением   и  , называется решением. В символической форме

(7.3)

и соответственно  . Взаимосвязь между G и C показана на рис.7.1

Рис.7.1. Функции ограничения, цели и решения.

В более общем случае, если имеется   целей и   ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т.е.

(7.4)

и соответственно

(7.5)

Заметим, что в приведенном определении нечёткого решения цели и ограничения входят в выражение для   совершенно одинаковым образом, что и соответствует тождественности целей и ограничений в логической схеме процесса принятия решений в нечётких условиях.

Коротко обобщенное определение решения можно сформулировать следующим образом:

Решение = Слияние целей и ограничений.

В качестве иллюстрации к соотношению (7.5) рассмотрим простой пример, в котором  , а  ,  ,   и   определяются табл. 7.1. Образуя конъюнкцию  ,  ,   и  , получим таблицу значений для   (табл.7.2). Решение в этом случае есть расплывчатое множество

={(2;0,1), (3; 0,4), (4; 0,7), (5; 0,8), (6; 0,6), (7; 0,4), (8; 0,2)}.

Заметим, что ни одно   из   не принадлежит решению   полностью (т.е. со степенью принадлежности, равной 1). Это, конечно, является следствием того, что заданные цели и ограничения вступают в конфликт друг с другом, исключая тем самым возможность существования альтернативы, которая бы полностью им всем удовлетворяла.

Понятие решения как расплывчатого множества в пространстве альтернатив может по началу показаться несколько искусственным. На самом деле оно совершенно естественно, поскольку расплывчатое решение может рассматриваться как некоторая "инструкция", расплывчатость которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений. Так, в приведенном примере  ,  ,   и   могли бы быть выражены следующими фразами: "  следует взять близким к 5", "  следует взять близким к 3", "  следует взять близким к 4", "  следует взять близким к 6". Тогда решение состоит в том, что "следует взять" "  близкое к 5". При этом точное значение слова "близко" определяется в каждом случае значением соответствующей функции принадлежности.

Таблица 7.1.

Определение нечётких целей и ограничений

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0.1	0.4	0.8	1.0	0.7	0.4	0.2	0	0
	0.1	0.6	1.0	0.9	0.8	0.6	0.5	0.3	0	0
	0.3	0.6	0.9	1.0	0.8	0.7	0.5	0.3	0.2	0.1
	0.2	0.4	0.6	0.7	0.9	1.0	0.8	0.6	0.4	0.2

Таблица 7.2.

Определение нечёткого решения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,4	0,7	0,8	0,6	0,4	0,2	0	0

Как следует выполнять расплывчатые инструкции типа "  следует взять близким к 5"? Хотя на вопросы такого типа не представляется возможным дать универсальный ответ, во многих случаях все же разумно выбрать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к  . В нашем примере этому соответствует  .

В определении нечёткого решения   как пересечения или, в более общем смысле, как слияния цели и ограничений подразумевается, что все входящие в   цели и ограничения имеют в некотором смысле одинаковую важность. Однако встречаются ситуации, в которых некоторые цели и, возможно, некоторые ограничения являются более важными, чем остальные. В таких случаях решение   может быть выражено выпуклой комбинацией целей и ограничений с весовыми коэффициентами, характеризующими относительную важность составляющих элементов. Таким образом,   может быть записано в виде:

(7.6)

где   и   - функции принадлежности, такие, что

С учетом этого ограничения   и   могут быть подобраны так, чтобы передавать относительную важность целей   и ограничений  . В частности, если  , получится любое расплывчатое множество, содержащееся в   и включающее  . Отметим, что формула (7.6) напоминает известный способ сведения векторного критерия к скалярному с помощью образования линейной комбинации компонент векторной функции цели.