2. Множественность и единство моделей

Реальный объект может иметь несколько разных моделей. Когда архитектор готовится построить новое здание, то прежде чем воздвигнуть его, он сооружает здание из кубиков на столе. Это – модель. Если представлен только чертеж того же проектируемого здания, то это тоже модель. Если есть таблица чисел и формул, на основании которых можно судить о том же здании, то и это – тоже его модель, но в другом исполнении. Реальное здание по отношению ко всем своим моделям является оригиналом или прототипом. Модель – это объект, определенным элементам которого соответствуют элементы другого объекта – оригинала, причем взаимосвязям и отношениям между элементами модели соответствуют определенные взаимосвязи и отношения между элементами оригинала. Указанная выше множественность моделей связана с тем, что каждая их них по-своему отражает отдельные стороны реального объекта, т.е. рассматриваемая система моделей составляет основу суждения об объекте вообще и о здании в частности. И не просто каких-то моделей, а взаимосвязанных.

Так, молекулу вещества будет характеризовать система математических моделей, каждая из которых зависит от постановки задачи. Если нужно установить простейшую формулу соединения, то достаточно выразить с помощью взаимно простых чисел индексы при элементах химической формулы. В молекулярной формуле каждый индекс определяет количество атомов соответствующего элемента, структурная формула должна характеризовать строение молекулы, а пространственная модель – еще и её конфигурацию. И эта множественность математических моделей связна с тем, что каждая из них отражает отдельные стороны одного и того же реального объекта, исследует различные системы его свойств.

Рассмотрим задачу: Массовая доля углерода в углеводороде составляет %. При исследовании этого углеводорода было установлено, что в его молекуле все связи имеют одинаковую длину; равны также и расстояния между любыми двумя ядрами . Напишите: 1) Простейшую формулу углеводорода; 2) Его молекулярную формулу; 3) Структурную формулу; Постройте модель молекулы углеводорода и вычислите величи­ны валентных углов .

1) Запишем формулу неизвестного углеводорода в виде , где и – натуральные числа. По массовой доле углерода в углеводороде составляем уравнение: , т.е.

или

, (2.1)

значит, – простейшая формула углеводорода, так как числа и – взаимно простые.

2) Теперь построим математическую модель, определяющую и .

Поскольку в молекуле предельного углеводорода с атомами углерода связано максимальное количество атомов водорода, равное , для индексов и молекулярной формулы любого углеводорода справедливо неравенство

(2.2)

Итак, для определения натуральных чисел х и у имеем смешанную систему

,

решая которую, находим: или , но – число натуральное, значит и из уравнения (2.1) .

Следовательно, – молекулярная формула углеводорода (метан). Заметим, что в этом случае простейшая формула совпадает с молекулярной.

3. Поскольку углерод в углеводороде четырехвалентен, а водород одновалентен, то

│

── ── – структурная формула метана.

│

4) Учитывая, что по условию все расстояния равны между собой, сразу же приходим к выводу, что модель молекулы не может быть плоской. Следовательно, эта модель должна представлять собой четырехгранник, все ребра которого имеют одинаковую длину, а грани являются правильными конгруэнтными треугольниками, т.е. такой четырехгранник – правильный тетраэдр, центр которого совпадает с положением атома , поскольку по условию длины всех связей равны. Из этого следует, что все валентные углы конгруэнтны. Вычислим их.

Пусть точка – центр правильного тетраэдра , т.е. центр описанной около него сферы (рисунок 2.1); поэтому . Обозначим длину ребра тетраэдра как , и продолжим до пересечения с основанием . Тогда высота, и , так как – центр правильного треугольника со стороной . Из имеем:

и , следовательно,

[38, c. 69].

Отметим, что в учебниках химии величина этого валентного угла сообщается догматически.

Рисунок 2.1 – Тетраэдрическая модель молекулы метана

В этом контексте рассмотрим ещё математические модели радиоактивного распада. Так называются самопроизвольные превращения ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов, сопровождающиеся альфа-, бета- и гамма-излучением. Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не все сразу, а в течение всего времени существования данного изотопа. Время , в течение которого распадается половина наличного количества радиоактивных атомов, называется периодом полураспада. Построим математическую модель, определяющую количество нераспавшихся атомов в момент времени . Для этого обозначим через – количество радиоактивных атомов в начальный момент времени . По истечении периода полураспада это количество станет равно . Ещё через один такой же интервал времени количество нераспавшихся атомов будет . Теперь ясно, что, через периодов полураспада, т.е. при , останется радиоактивных атомов. Так как , то число нераспавшихся атомов в момент времени будет:

. (2.1)

Отметим, что эта модель дискретная, хотя бы потому, что она получена для дискретных моментов времени . Кроме того, если говорить о числе атомов, то оно должно быть натуральным, а потому при вычислениях по формуле (2.1) результат должен быть округлён до целого числа. Исходя из модели (2.1) мы можем построить непрерывную модель, считая непрерывным время t, и тогда формула (2.1) будет служить для определения числа нераспавшихся атомов в любой момент времени. Можно было бы предложить и множество других моделей, описывающих радиоактивный распад и дающих практически один и тот же результат. Например, если бы мы хотели построить модель радиоактивного распада в виде дифференциального уравнения, то нам пришлось бы считать функцию не только непрерывной, но и дифференцируемой. Иными словами, мы изменили бы действительную картину реального процесса так, чтобы иметь возможность воспользоваться такой математической моделью как дифференциальное уравнение. Эта совершенно необходимая замена реального процесса на его математическую модель должна проводиться так, чтобы изучаемые стороны процесса не были бы существенно искажены. Ведь модель – это не сама действительность, и забвение этого может привести к грубым ошибкам, например, к попытке навязать без должного обоснования все свойства математической модели объективной действительности [25, с. 94].

Единство моделей состоит в том, что различные, реальные объекты или их содержательные модели могут иметь одну и ту же математическую модель, например . Кроме того, если различные объекты имеют одинаковую математическую модель, то можно один из этих объектов моделировать другим. Так, площадь фигуры, для вычисления которой служит такая математическая модель, как интеграл, можно определить с 2–3 значащими цифрами с помощью взвешивания на аналитических весах. Для этого достаточно вычертить заданную фигуру на ватмане или тонком картоне, вырезать её и взвесить, затем вырезать из этого же картона и взвесить единичный квадрат, разделить вес фигуры на вес квадрата. Поскольку задача о приближенном вычислении определенного интеграла сводится к нахождению площади криволинейной трапеции, а последняя может быть определена при помощи взвешивания, то и определенный интеграл часто может быть вычислен взвешиванием.

Примечательно, что при моделировании одного объекта другим, их общая математическая модель (в рассмотренном примере – определенный интеграл), посредством которой изучение одного объекта заменяется другим, остается в стороне, хотя именно на единстве математической модели основана возможность такого изучения.

При решении задачи о радиоактивном распаде нами принята такая математическая модель как геометрическая прогрессия. Можно привести множество других задач из различных областей знания, для решения которых применяется та же самая модель.

Рассмотрим задачу: Проводнику сообщён заряд 1000 Кл. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Какой заряд останется на проводнике через 10 минут, если за первую минуту потеряно 100 Кл?

Итак, в конце первой минуты на проводнике остался заряд 900 Кл, т.е или 90 % первоначального заряда. В создаваемой модели (расчётной схеме) будем считать, что каждую минуту проводник теряет ровно 10 % своего заряда, т.е. на проводнике остается 90 % или 0,9 заряда, сохранившегося на конец предыдущей минуты. В этой схеме имеем: в конце первой минуты заряд проводника будет (Кл), в конце второй , третьей , через t минут , т.е. чрез 10 минут заряд будет равен (Кл).

Этот результат получен на основе построенной нами модели. Сразу возникает вопрос, а будет ли процент сохраняющегося заряда постоянным и точно равным 90 %. В действительности нет, в нашей модели – да! Если мы решаем задачу на движение, то часто в принятой модели считаем скорость, например поезда, постоянной, хотя в действительности это и не так.

Можно долго продолжать перечень задач, решения которых приводятся к геометрической прогрессии, которая является их математической моделью. В этой ситуации задач много, а модель – одна: единство природы обнаруживается в аналогичности математических моделей, относящихся к различным областям знания.

И в заключение укажем, что «Умение правильно выбрать математическую модель из уже известных или, тем более, построить заново требует необходимых математических и специальных знаний и соответствующих навыков» [24, c. 12].

Важнейшим требованием к математической

модели является требование ее адекватности….

А.Д. Мышкис