10.2. Физическая задача

Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. Через сколько времени он поднимется на высоту, равную 5,0 м ?

В этих условиях сопротивлением воздуха будем пренебрегать, и ускорение свободного падения считать постоянным. Переход к математической модели задачи осуществляется так же, как и при решении любой текстовой задачи на составление уравнений, при этом каждый пользуется знаниями, полученными и по физике и по математике.

Итак, введём направленную вертикально вверх координатную ось , начало которой совместим с камнем, моделируемым материальной точкой. При сделанных предположениях движение камня вдоль оси будет определяться постоянным ускорением свободного падения (м/с²) и начальной скоростью (м/с). В этих условиях, как известно из курса физики, характер движения камня описывается функцией

. (10.1)

Теперь для решения сформулированной задачи обозначим через с – время, через которое камень окажется на высоте 5,0 м, тогда для определения получим на основании (10.1) уравнение или , т.е.,

, (10.2)

которое и является математической моделью рассматриваемой конкретной физической задачи. Этим завершается первый этап решения прикладной задачи средствами математики.

На втором этапе решаем уже математическую задачу, т.е. квадратное уравнение (10.2), в котором – неизвестное. Сначала найдём дискриминант . Однако это равенство приближённое, о чём свидетельствует значение коэффициента 5,0 в уравнении (10.2).

Формально уравнение (10.2) имеет единственное решение

=1,0. Но здесь есть одно осложнение: малые погрешности в исходных данных могут существенно изменить решение и тогда оно оказывается недостоверным: при его нет, а при их два. Решение = 1,0 – неустойчиво. Здесь можно говорить об условной устойчивости, когда при малых погрешностях в исходных данных малым будет .

10.3. Математическая задача №1151 [20]

Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и остатке 6?

Сначала будем решать её с исключённой информацией о том, что двузначное число «при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6». Для этого обозначим через и соответственно число десятков и число единиц двузначного числа, тогда для нахождения неизвестных получим конечное уравнение с двумя неизвестными:

, (10.3)

где , – целые числа.

Из уравнения имеем: .

П остроим с помощью компьютера график этой функции (рисунок 10.1).

Рисунок 10.1 – График гиперболы

Из рисунка 10.1 видны значения при всех целых , удовлетворяющих двойному неравенству . Следовательно, только является целым числом и поэтому, если двузначное число, о котором идет речь, и существует, то оно равно 22. Однако, уравнение (10.3) есть следствие задачи, а потому необходима ещё проверка результата по условию. Но проверка показывает, что при делении числа 22 на 4 неполное частное равно 5, а не 4, т.е. число 22 не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, не существует двузначного числа, о котором идёт речь в задаче с исключённой информацией и тем более оно не может существовать при любых дополнительных условиях, включая и удалённое. Таким образом, график помог быстро обнаружить в условии лишние данные и без ущерба для дела их исключить.

Отметим, что без использования графика сложнее найти решение рассматриваемой задачи с исключенными лишними данными.

Математический анализ не менее всеобъемлющ,

чем сама природа: он определяет все ощутимые

взаимосвязи, измеряет времена, пространства,

силы, температуры…

Ж. Фурье