Содержание

Предисловие 4

Введение 6

§ 1. Математическое моделирование как метод познания 9

1.1. Понятие математической модели 9

1.2. О гуманитарной значимости математических моделей 10

1.3. О сущности аксиоматического метода 13

1.4. Пример построения и исследования математической модели 15

1.5. А были ли американские астронавты на Луне? 18

§ 2. Общая схема применения математики. Множественность и единство моделей 20

2.1. Общая схема применения математики 20

2.2. Множественность и единство моделей 22

§ 3. Требования, предъявляемые к математической модели 28

3.1. Об адекватности математической модели 28

3.2. О полноте математической модели 31

3.3. О непротиворечивости модели 31

3.4. О других требованиях 32

§ 4. Приближенные числа и действия с ними 34

4.1. Десятичная запись приближенных чисел 34

4.2. О приближенных числах и значащих цифрах 34

4.3. О правилах действий с приближенными числами 39

4.4. Об оценке точности решения 40

§ 5. Система линейных уравнений как математическая модель 42

5.1. О решении переопределенных систем 42

5.2. Об устойчивости решений относительно погрешностей в исходных данных 44

§ 6. О построении математических моделей, описывающих результаты экспериментов 48

6.1. Математическая модель прямых измерений 48

6.2. О построении математических моделей косвенных измерений 49

§ 7. Оптимизационные модели 54

7.1. Примеры простейших задач на экстремум 54

7.2. О типах задач математического программирования 57

7.3. Конкретная транспортная задача 60

§ 8. Метод размерностей и его приложения к построению математических моделей 62

8.1. О структуре функциональной связи 62

8.2. Простейшие задачи 62

8.3. Основная теорема о функциональной зависимости размерных величин 64

8.4. О необходимости соблюдения правила размерностей 66

§ 9. Метод подобия и его приложения к построению математических моделей 68

9.1. О геометрическом подобии 68

9.2. О физическом подобии 72

9.3. Измерение силы тяжести на луне с помощью телевизора 76

§10. Конечные уравнения как математические модели 77

10.1. Химическая задача 77

10.2. Физическая задача 78

10.3. Математическая задача №1151 [20] 79

§11. Предел и производная как математические модели 81

11.1. Предел как математическая модель 81

11.2. Производная как математическая модель 89

§ 12. Интеграл как математическая модель 91

12.1. Задачи, приводящие к понятию интеграла 91

12.2. Две схемы приложения определенного интеграла к построению математических моделей задач 93

§ 13. О математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями 96

13.1. Задача о росте населения 96

13.2. Задача о колебаниях пружинного маятника 97

13.3. Задача о форме зеркала прожектора 100

§ 14. Вычислительный эксперимент 102

14.1. Вычислительный эксперимент как метод познания 102

14.2. Приложения метода к решению химических задач 103

14.3. Приложения метода к решению математических задач 107

14.4. ЭВМ – соавтор открытия 108

§ 15. Вероятность события как математическая модель 110

15.1. О понятии «вероятность события» 110

15.2. Вероятностные модели конкретных задач 113

§ 16. Математическая модель опыта. Случайная величина как математическая модель 117

16.1. Математическая модель опыта 117

16.2. Случайная величина (СВ) как математическая модель 118

16.3. Механическая модель СВ 120

§ 17. Схема Бернулли. Цепь А.А. Маркова 122

17.1. Схема Бернулли 122

17.2. Цепь событий как математическая модель 123

17.3. Простейшая цепь Маркова А.А. 125

§ 18. Понятие о методе Монте – Карло 129

18.1. Общее представление о методе 129

18.2. Применения метода к решению невероятностных задач 130

18.3. О применении метода к проверке статических гипотез 132

18.4. О сущности метода 134

§ 19. Простейшие теоремы математической химии и их приложения к построению математических моделей 135

19.1. Взаимно простые числа в химии 135

19.2. Критерии алканов 136

19.3. Теоремы гомологии 138

19.4. Теорема о молекулярной формуле соединения 142

§ 20. О математических моделях географии 144

20.1. О математических моделях Земли 144

20.2. Об измерениях диаметра Земли 146

20.3. О расширении горизонта в зависимости от высоты наблюдения 149

20.4. О математических моделях холмов и впадин Земли 151

§ 21. О математических моделях логических связок 152

21.1. Высказывания 152

21.2. Отрицание 153

21.3. Конъюнкция – математическая модель логической связки «и» 153

21.4. Дизъюнкция – математическая модель логической связки «или» 153

21.5.Импликация – математическая модель логической связки «если…, то» 154

21.6. Об определении модуля 155

21.7. О задании функции разными формулами 157

21.8. Высказывания и контактные схемы 158

21.9. Алгебра правды и лжи 160

§ 22. Понятие об имитационном моделировании 165

§ 23. Применение ЭВМ к анализу математических моделей 171

23.1. Применение к совершенствованию учебных задач и их решений 171

23.2. Применение к анализу устойчивости решений и обусловленности задач 176

§ 24. Упрощение моделей 179

24.1. Химические задачи 179

24.2. Математические задачи 190

24.3. Другие задачи 193

§ 25. Вариант расчетно-графической работы 195

Заключение 203

Библиографический список 204

Содержание 208

Навчальний посібник

Хрустальов Олександр Федорович