§ 24. Упрощение моделей

В этом параграфе рассматриваются упрощения содержательных моделей в виде текстовых задач. При этом упрощать можно как сам текст, так и соответствующую ему математическую модель, но так, чтобы упрощения не изменяли содержание самой задачи или её математической модели, которые остаются адекватными исходным формулировкам и моделям. Таким образом, мы будем анализировать условия задач и удалять из них лишние данные, если такие имеются.

24.1. Химические задачи

В учебниках, справочниках, пособиях для поступающих в вузы и журнальных материалах нередко встречаются задачи на вывод формул соединений, причем в условиях оказывается лишних сведений, как количественных, так и качественных иной раз столько, что, удаляя их, задачу можно решить несколькими способами, используя при этом различные группы исходных данных.

Продемонстрируем сказанное возможными вариантами рассматриваемых ниже решений.

При этом для сокращения текста будем пользоваться леммой: Для индексов и молекулярной формулы любого углеводорода справедливо неравенство

. (24.1)

Действительно, для индексов молекулярной формулы или не может быть , поскольку в насыщенной структуре, соответствующей формуле алкана , дополнительным атомам водорода места нет. Следовательно, или .

Задача 1. Смешали газообразный углеводород объемом 40 мл с кислородом объемом 200 мл, который взят в избытке и подожгли. После приведения полученной смеси газов к первоначальным условиям (вода конденсируется) объем их составил 140 мл, из которых 80 мл поглощено щелочью при пропускании через нее газов. Установите формулу углеводорода [12,с.38].

Решение первое. Исключим из условия информацию о том, что кислород был взят в избытке.

Так как в результате реакции образовалось 80 мл , а остаток составил (мл), то углеводород в избытке быть не мог, ибо 40<60. Значит, в избытке был кислород, прореагировавший объем которого составил 200 – 60 = 140 (мл). Обозначив формулу неизвестного углеводорода как и записав уравнение реакции

, (24.2)

на основании следствия из закона Авогадро, получим систему

,

из которой находим: , и или формула углеводорода (этан).

Решение второе. Исключим из условия данное «40 мл».

Поскольку объем не прореагировавшего кислорода равен

140 – 80 = 60 (мл), объем прореагировавшего кислорода

200 – 60 = 140 (мл), а образовавшегося углекислого газа 80 мл, то, записав формулу углеводорода как , на основании уравнения (24.2) и следствия из закона Авогадро получим уравнение , из которого находим . Но для любого углеводорода справедливо неравенство (24.1) , поэтому или . Однако не может равняться 1, так как не существует углеводорода, формула которого . Значит, , и или – формула углеводорода.

Решение третье. Исключим из условия информацию о том, что кислород был взят в избытке и данное «40 мл», т.е. решим задачу:

Смешали газообразный углеводород с 200 мл кислорода и подожгли. После окончания реакции и приведения полученной смеси газов к первоначальным условиям (вода конденсируется) объем их составил 140 мл, из которых 80 мл поглощено щелочью при пропускании через неё газов. Установите формулу углеводорода.

Так как в результате реакции образовалось 80 мл , а остаток составил 140 – 80 = 60(мл), то либо кислород, либо углеводород был взят в избытке. Предположим, что в избытке был неизвестный углеводород. Тогда бы 80 мл образовалось в результате реакции углеводорода с 200 мл кислорода и на основании уравнения реакции (24.2) можно записать пропорцию , из которой получаем . Но из неравенства (24.1) имеем или . Но это неравенство не имеет решений во множестве натуральных чисел. Следовательно, не существует углеводород, который мог бы быть в избытке. Значит, в избытке был кислород. Поэтому на основании уравнения реакции (24.2) имеем пропорцию , т.е. . Теперь, как и во втором решении, приходим к выводу, что , и или – формула углеводорода.

Задача 2. Смесь 5 мл газообразного углеводорода с 12 мл кислорода поместили в эвдиометр и взорвали. После приведения условий к первоначальным объем газовой смеси составил 7 мл, а после её пропускания через раствор щелочи уменьшился до 2 мл, причем оставшийся газ поддерживал горение. Определите формулу углеводорода [Н.Е. Кузьменко, В.В.Еремин, В.А. Попков. Начала химии. Современный курс для поступающих в вузы, Т.2.- М.: ЭКЗАМЕН, 2004, с.138].

Решение первое. Исключим из условия количественное данное «12 мл» и сведение о том, что «оставшийся газ поддерживал горение». Поскольку после пропускания смеси газов через раствор щелочи объем уменьшился до 2 мл, то один из газов был взят в избытке. Предположим, что в избытке был неизвестный углеводород, формулу которого обозначим как ( и – натуральные числа) и запишем неполное уравнение реакции:

→ .

Тогда объем прореагировавшего углеводорода будет 5–2=3 (мл) и на основании уравнения реакции и следствия из закона Авогадро имеем пропорцию , т. е. , а это противоречит тому, что – натуральное число. Следовательно, в избытке был кислород, поэтому имеем пропорцию , т. е. и – формула углеводорода (метан). (В соответствии со строением углеводородов с одним атомом углерода соединяются четыре атома водорода).

Решение второе. Удалим из условия количественное данное «5 мл» и сведение о том, что «оставшийся газ поддерживал горение». Так как после пропускания смеси газов через раствор щелочи объем уменьшился до 2 мл, то один из газов был взят в избытке. Если в избытке был углеводород , то, записав уравнение реакции

, (24.2)

получим пропорцию , из которой находим

. Теперь из неравенства (24.1) имеем , т.е. . Следовательно, такого углеводорода нет. Значит, в избытке был кислород. Из уравнения реакции имеем пропорцию , т. е. . Но для любого углеводорода справедливо неравенство (24.1) и потому или , т. е. , и – формула углеводорода.

Решение третье. Исключим информацию «12 мл» и «до 2 мл». Поскольку оставшийся газ поддерживал горение, то кислород был взят в избытке. Если принять объем , образовавшегося в результате полного сгорания 5 мл , равным а мл, то на основании уравнения реакции (24.2) можно записать пропорцию

( , поскольку в 7 мл входят и углекислый газ, и избыток кислорода). Значит, , а это неравенство имеет единственное решение в целых положительных числах:

и – формула углеводорода.

Решение четвертое. Исключим из условия информацию о том, что объем газовой смеси составил 7 мл и после её пропускании через раствор щелочи уменьшился до 2 мл. Иными словами, найдем формулу углеводорода, 5 мл которого сгорают в 12 мл кислорода, взятого в избытке.

Обозначим через мл объем кислорода, нужного для сгорания 5мл углеводорода . Теперь на основании уравнения реакции (24.2) и следствия из закона Авогадро запишем соотношение

( , так как в 12 мл входит и избыток кислорода)

или ,

из которого .

Поскольку в молекуле любого углеводорода число атомов водорода четное . Подставляя в последнее неравенство вместо у его наименьшее значение, равное 2, получим , а это неравенство имеет в натуральных числах единственное решение и мы снова приходим к выводу, что – формула углеводорода.

Решение пятое. Исключим из условия слова «а после её пропускания через раствор щелочи уменьшился до 2 мл, причем оставшийся газ поддерживал горение». Поскольку объем газовой смеси ( и одного из исходных газов) составил 7 мл, то в этот объем входил и избыток мл одного из исходных газов. Если в избытке был углеводород то, записав уравнение реакции

,

получим систему

и ,

из первого уравнения которой имеем . Подставив найденное значение во второе уравнение системы, находим , причем , так как при , не является натуральным числом. Но для любого углеводорода справедливо неравенство (24.1) и потому или , т. е. , что противоречит полученному выше условию .

Значит, не существует углеводород, который может быть в избытке. Итак, в избытке был кислород и на основании уравнения реакции справедливо соотношение т.е. , а это неравенство имеет единственное решение в целых положительных числах: и потому – формула углеводорода.

Задача 3. К 300 мл смеси некоторого углеводорода с аммиаком добавили избыток кислорода и подожгли. После полного сгорания газов исследуемой смеси объем вновь полученной смеси составил 1250 мл. После конденсации паров воды он сократился до 550 мл, после обработки щелочью – до 250 мл, 150 мл из которых приходилось на долю кислорода. Объемы всех газов измерены при одинаковых условиях. Установите формулу углеводорода [Химия в школе, №1, 1993, с.39].

Решение первое. Заменим первое предложение из условия этой задачи таким «К смеси некоторого углеводорода с аммиаком добавили кислород и подожгли», а остальной текст оставим без изменения. Так как после полного сгорания газов исследуемой смеси 150 мл приходилось на долю кислорода, то он был взят в избытке. Смесь, образовавшаяся после полного сгорания газов, содержит: 1250 – 550 = 700 (мл) паров , 550–250 = 300 (мл) , 150 мл и 250 – 150 = 100 (мл) . Теперь запишем формулу углеводорода в виде и схемы реакций горения аммиака и углеводорода:

→ и 2 → . Из первого уравнения следует, что при образовании 100 мл получается 300 мл паров . Следовательно, при сгорании углеводорода образуется (мл) паров . Поэтому из второго уравнения следует, что , т.е. , причем , так как – число натуральное. Но для любого углеводорода справедливо неравенство (24.1) и потому или . Значит, и – формула углеводорода (пропан).

Решение второе. Сначала переформулируем условие: К 300 мл смеси некоторого углеводорода с аммиаком добавили кислород и подожгли. После полного сгорания газов исследуемой смеси объем вновь полученной смеси составил 1250 мл. После конденсации паров воды он сократился до 550 мл, после обработки щелочью – до 250 мл, 150 мл из которых приходилось на долю некоторого газа. Объемы всех газов измерены при одинаковых условиях. Установите формулу углеводорода.

В конечных продуктах содержится азот и кислород. Предположим, что 150 мл составляет азот. Тогда из неполного уравнения реакции  →  следует, что для образования 150 мл азота необходимо 300 мл аммиака, а это невозможно, так как объем всей смеси равен 300 мл. Следовательно, 150 мл приходится на долю кислорода, который был взят в избытке. Значит, на долю азота приходится (мл) при образовании которых, как следует из уравнения реакции, получается 300 мл паров . Значит, при сгорании углеводорода образуется 700 – 300 = 400 (мл) паров воды. Поэтому, с учетом того, что объем равен 300 мл, из схемы реакции

2 →

получаем пропорцию , т.е. .

Уже отсюда следует, что – формула углеводорода (пропан).

Решение третье. Исключим информацию об объеме смеси, равном 300 мл и воспользуемся общим уравнением реакции горения, которое, с точки зрения системного подхода (анализа) больше соответствует реальному химическому процессу.

Пусть сгорают моль и моль , тогда общее (неполное) уравнение реакции горения смеси можно записать в виде: + → + + .

Как показано выше, смесь, образовавшаяся после полного сгорания газов, содержит: 700 мл паров воды, 300 мл углекислого газа, 100 мл азота и потому коэффициенты перед и относятся как

, т.е. = или ,

а коэффициенты перед и относятся как

, т.е. или .

Значит, и – формула углеводорода (пропан).

Задача 4. При сжигании 6,45 г газообразного галогеналкана образовалось 4,48 л углекислого газа и 2,24 л хлороводорода (н.у.); плотность неизвестного вещества при н.у. равна 2,879 г/л. Выведите молекулярную формулу вещества [21, с.4].

Исключим из условия всю информацию, кроме той, что плотность газообразного галогеналкана при н.у. равна 2,879 г/л, да и ту округлим до трех значащих цифр: 2,88 г/л. Отсюда, с точностью до трёх значащих цифр, относительная молекулярная масса галогеналкана . Теперь очевидно, что ни бром, ни йод, ни астат не удовлетворяют значению , так как относительная атомная масса каждого из них (80; 127 и 210 соответственно) больше всего галогеналкана. Фтор также не подходит, поскольку его относительная атомная масса с точностью до трёх значащих цифр равна 19,0. Остаётся только хлор, относительная атомная масса которого 35,5 (кстати, это очевидно, поскольку 64,5). Значит, молекула галогеналкана содержит один атом хлора, а на остаток, равный 29, приходится два атома углерода и пять атомов водорода (проверка: ) и – молекулярная формула вещества. Возможны и другие варианты.

Задача 5. Плотность по водороду вещества, имеющего массовый состав: 54,55 % углерода, 9,09 % водорода, 36,36 % кислорода, равна 22. Оно легко восстанавливает оксид серебра, образуя кислоту. Определите молекулярную формулу этого вещества и назовите его. К какому гомологическому ряду оно относиться? [21, с.22].

Исключим из задачи количественные данные о процентах. Тогда на основании сохранённой информации приходим к выводу, что вещество – альдегид, состоящий из и (альдегида) = 44, а так как ( ) = 29, то в его молекуле содержится только одна карбонильная группа . Следовательно, на остаток, равный 44 – 29 = 15, приходится один атом углерода и три атома водорода, а потому – формула альдегида.

Задача 6. Одноосновная карбоновая кислота имеет следующий состав: углерод 40,0 %, водород 6,67 %, кислород – 53,33 % Плотность паров этой кислоты по аргону равна 1,5. Исходя из этих данных, найдите молекулярную формулу этой кислоты [21, с.22].

Сохраним информацию о том, что карбоновая кислота состоит из углерода, водорода и кислорода и плотность её паров по аргону равна 1,5. Тогда (кислоты) = , и так как ( ) = 45, то в молекуле карбоновой кислоты содержится только одна карбоксильная группа. Следовательно, на остаток, равный 60 – 45 = 15 приходится один атом углерода и три атома водорода, а потому – формула кислоты. Возможны и другие варианты.

Задача 7. Определите молекулярную формулу газа, если известно, что при сжигании 2,24 л его образовалось 4,48 л углекислого газа (н.у.) и 1,8 г воды. Плотность газа по воздуху равна 0,8966 [21, с.4].

Удалим всю количественную информацию кроме плотности газа по воздуху, да и ту округлим до двух значащих цифр: 0,90. Формулу газа запишем в виде , где , так как заранее неизвестно входит ли кислород в соединение. Теперь для определения индексов запишем уравнение , из которого видно: , так как даже при и левая часть равенства больше правой. Следовательно, газ – углеводород и , поэтому или . Но при , , а углеводорода, формула которого не существует. Значит, , и – формула газа (ацетилен).

Задача 8. Какова масса серной кислоты, которую можно получить из 16 т руды, содержащей 60 % пирита ?

(Сергеев С.А. Решения и ответы: К учебнику «Химия. 8– 9 класс». – Минск: Изд-во “АРТААЛ – ПРЕСС”, 1997, С. 150 – 152).

Прежде чем решать эту и последующие задачи, заметим, что, если химический процесс получения какого - либо вещества состоит из нескольких стадий, а все атомы некоторого элемента в каждой стадии переходят из исходного вещества только в один конечный продукт, то нерационально пользоваться расчётами по уравнениям всех промежуточных реакций.

В таких случаях целесообразно воспользоваться одной обобщённой схемой, в которой указаны только формулы одного исходного вещества и соответствующего конечного продукта.

Для решения рассматриваемой задачи сначала запишем схемы протекания реакций

1. Обжиг пирита: + → + _.

2. Окисление оксида серы (IV): + → _.

3. Получение серной кислоты: + → .

Поскольку во всех превращениях цепочки

→ → →

только указанные начальные и конечные продукты содержат в своём составе серу , то, чтобы вычислить массу серной кислоты, которую можно получить из пирита, достаточно воспользоваться схемой

→2 , (*)

в которой коэффициенты уравнены по атомам .

Так как ( ) = 16 т•0,60 = 9,6 т, то

( ) = моль.

Теперь из схемы (*) очевидно, что

m( ) = ≈16т.

(отметим, что решение автора книги занимает две страницы, а ответ 15,68 т – некорректный, так как результат не может быть точнее исходных данных и должен в соответствии с правилами приближённых вычислений содержать две значащие цифры).

Задача 9. Сколько тонн 98 % раствора серной кислоты можно получить из 2,4 т пирита? (там же, c. 152 – 153).

Сначала найдём количество вещества пирита

( ) = = моль.

Теперь из той же схемы (*) следует:

n( ) = .

Значит, ( )=  = 3,92 т.

Следовательно, (раствора) = = 4,0 т.

Задача 10. Какой объем аммиака (н. у.) потребуется для получения 50 т раствора, содержащего 0,5 массовых долей азотной кислоты? (там же, c. 168 – 169).

Сначала запишем схемы протекания реакций, которые используются для получения азотной кислоты

1. Окисление аммиака кислородом:

+ → +

2. Окисление оксида азота (II) до оксида азота (IV):

+ →

3. Поглощение оксида азота (IV) водой:

+ + → .

Отсюда следует, что для получения азотной кислоты используется цепочка превращений → → → , в каждом звене которой только указанные начальные и конечные продукты содержат атомы , поэтому в расчетах, относящихся к рассматриваемой задаче, можно пользоваться схемой → , показывающей, что при полном превращении аммиака в азотную кислоту из 1 моль получается 1 моль .

Теперь найдём количество вещества азотной кислоты

,

а затем на основании расчётной схемы приходим к выводу, что . Следовательно, потребный объём аммиака при н. у. будет:

тыс. м³.

(ответ автора 8889 м³ некорректный, так как результат должен содержать одну значащую цифру, как и массовая доля 0,5. В этой связи ещё раз подчеркнём, что нули, входящие в приближенные числа, записанные прописью тыс., млн. и т. п. – значащими не являются).