§2. Общая схема применения математики. Множественность и единство моделей

2.1. Общая схема применения математики

Решение прикладной задачи математическими методами ведётся по трехэтапной схеме.

На первом этапе – этапе формализации – осуществляется переход от практической задачи к её математической модели.

В начале этого этапа, исходя из реального объекта, мы формулируем его свойства на языках соответствующих предметных областей, иными словами, сначала строим физическую или химическую (здесь «или» имеет смысл дизъюнкции, т. е. модель может быть и физико-химической и т. п.), или биологическую и т. д. модель объекта, которую следуя А.Д. Мышкису будем называть содержательной. Уже при построении содержательной модели мы отвлекаемся от несущественных факторов, характеризующих объект, т.е. описываем его схематически, упрощённо. Так, в задаче о вычислении площади пола мы считаем, что пол имеет прямоугольную форму, пренебрегаем всякого рода неровностями, изъянами и т.п. Другими словами, реальный объект сначала описывается на неформальном, доматематическом уровне. Затем создается математическая модель, для чего перечисляются те особенности содержательной модели и законы других наук, которые будут использованы при решении, т.е. мы применяем, принятый в математике аксиоматический метод: требования, предъявляемые к математической модели, являются аксиомами, лежащими в основании математического решения прикладной задачи.

Второй этап заключается в исследовании математической модели или, говоря проще – решении математической задачи, сформулированной на первом этапе. Это исследование проводится в рамках математики, но здесь имеется одна важная особенность, позволяющая упростить решение с учётом того, что все элементы математической модели являются образами соответствующих реальных элементов и на этом основании привлечь дополнительную информацию из реального объекта.

Продемонстрируем это решением задачи:

В продажу поступили одинакового диаметра трубы трёх типов длиной 4 м, 7 м, и 10 м соответственно стоимостью 4; 6 и 9 ден. ед.

Сколько труб каждого типа можно купить ровно за 100 ден. ед., чтобы суммарная их длина была бы наибольшей? Обозначим через – соответственно число труб первого, второго и третьего типа, которое можно купить, чтобы их суммарная длина была наибольшей при условии, что

, (2.1)

где неизвестные – целые неотрицательные числа.

Из экономических соображений, очевидно, что нужно купить максимально возможное число труб с наименьшей стоимостью 1 м. Так как , то больше всего должно быть куплено труб второго вида. Из (2.1) очевидно: , поэтому при максимально возможном целом значении имеем: , т. е. .

Ясно, что решение – оптимальное, т. е. суммарная длина труб в этом случае – наибольшая.

Получив решение математической задачи как математической модели соответствующей реальной ситуации (объекту), необходимо это решение проанализировать, разобраться в его реальном смысле и сделать правильные выводы. В этом состоит третий, заключительный этап применения математики к решению прикладной задачи – этап интерпретации (истолкования) результата исследования математической модели. Итак, ответ: за 100 ден. ед. можно купить одну трубу первого типа и 16 труб второго, при этом их суммарная длина будет наибольшей.

Отметим также, что ответ для математической задачи, сформулированной на втором этапе, может не удовлетворять исходной задаче, или удовлетворять ей не полностью. Ответ внутри математической модели может быть точным, ответ для прикладной задачи почти всегда приближённый. В последнем случае он должен быть записан в соответствии с правилами приближённых вычислений.

Теперь приведём общую схему применения математики к изучению реальных объектов и решению прикладных задач:

Реальный объект, прикладная задача

Содержательная модель, текстовая задача

Математическая модель

Решение математической задачи

Интерпретация решения в терминах реальной задачи или содержательной модели