15.2. Вероятностные модели конкретных задач

Задача 1. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60 северной широты и 60 южной широты. Определить вероятность того, что спутник упадёт на поверхность Земли выше 30 северной широты.

При решении будем исходить из того, что математической моделью Земли является шар, радиус которого обозначим через и падение спутника равновозможно в любом «месте» шарового пояса между 60 северной широты и 60 южной широты. Так как площадь шарового пояса между указанными широтами равна , где (рисунок 15.1) - половина высоты шарового слоя, а площадь шарового пояса выше 30 северной широты и ниже 60 северной широты будет , где , то искомая вероятность

.

Рисунок 15.1– Модель сечения Земли меридианной плоскостью

Для инженера вероятность, пусть и грубо, – это относительная частота, процент, с которым появляется то или иное событие в соответствующем эксперименте.

Рассмотрим решение вероятностной задачи методом статистического моделирования, а затем такой подход используем и для вывода формул.

Задача 2. Один стрелок даёт 80 % попаданий в мишень, другой (при тех же условиях стрельбы) – 70 % . Найти вероятность (процент) попадания в мишень обоими стрелками, если они стреляют в неё одновременно (залпом).

Допустим, что произведено двойных выстрелов (залпов). В нашей идеализированной расчётной схеме (модели) предполагается, что при всех сериях залпов соответствующий стрелок даёт точно 80 % и 70 % попаданий в мишень. В действительности эти величины являются средними статистическими.

С аналогичными моделями встречаются учащиеся средней школы при решении задач на движение, в котором, например, скорость 20 км/час принимается (по умолчанию) точно равной этому значению в любые промежутки и даже моменты времени, тогда как в реальном процессе движения мы не можем её определить абсолютно точно!

Итак, в нашей модели первый стрелок попадёт в мишень 0,8 раз при залпах, а другой, при 0,8 попаданиях первого, попадёт раз. Следовательно, при залпах будет таких, в которых в мишень попадёт и первый и второй стрелок, т.е. вероятность (статистическая, когда  ) попадания обоими стрелками будет или 56 %.

В нашей модели также предполагается, что оба стрелка стреляют независимо друг от друга: попадание или промах одним стрелком не зависит от того, попал или промахнулся другой.

Подчеркнём, что в предложенной модели использовались дедуктивные рассуждения (т.е. рассуждения без обращения к натурным испытаниям, однако при этом допустимы мысленные эксперименты).

Теперь установим методом статистического моделирования теорему умножения:

Если события и независимы в данном опыте, то вероятность их произведения (совместного наступления) равна произведению вероятностей этих событий.

В опытах, в которых и независимы, раз наступит событие и, поскольку не зависит от в этих опытах, появится и событие . На основании статистического определения вероятности имеем: при  , то есть .

На основе статистического определения вероятности события могут быть получены и другие формулы.

Задача 3. (Детская энциклопедия, Т. 2, просвещение, 1965 – С. 461). Рыбоводу понадобилось определить, сколько в озере рыб, годных для улова. Следуя рекомендациям теории вероятностей, рыбовод забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, пересчитал добычу. Рыб оказалось 38. Сделав пометку на каждой рыбке, рыбовод всех их выпустил в озеро. На другой день он забросил ту же самую сеть и теперь выловил уже 53 рыбки, две из которых оказались меченными. По этим данным рыбовод и вычислил приблизительно количество рыб в озере, годных для улова данной сетью. К какому результату пришел рыбовод?

Решение. Пусть число рыб в озере, годных для улова данной сетью, равно . Тогда отношение числа меченых рыб к числу всех рыб, опять - таки годных для улова данной сетью, равно . Во второй раз рыбовод выловил 53 рыбы, из них две меченые. Следовательно, отношение числа меченых рыб к числу выловленных равно . Будем предполагать, что меченые рыбы равномерно распределились среди всех рыб в водоеме, тогда оба отношения примерно одинаковы: , откуда . Значит, в озере имеется примерно тысяча рыб, годных для улова данной сетью.

Задача 4. Завод выпускает массовую продукцию. Если изделие, выпущенное заводом и поступившее в продажу, выходит из строя в течение года, то требуется заменить его запасным. Сколько необходимо запасных изделий, если в течение года продаётся изделий (для упрощения предполагается, что выход из строя запасного изделия невозможен)?

Если обозначить через – число вышедших из строя в течение года изделий, то их относительная частота будет . Если в течение года испытать выборку малого объёма n, в которой изделий вышло из строя, то их относительная частота будет . Поэтому

, т.е. .

Отметим, что по такой схеме (модели) приближённо определяют урожай на плантации по урожаю на некотором числе небольших участков, а также многие другие величины.

В этом контексте вспомним о работе отечественных математиков в годы Великой Отечественной войны в помощь фронту по организации производственных процессов, направленных на повышение производительности труда и на улучшение качества военной продукции. Здесь было много проблем. Одна из них – это контроль качества продукции. Например, изготовленные снаряды должны обладать определенной кучностью при стрельбе, но для проверки такого свойства необходимо проводить опытные стрельбы. А если так испытывать все снаряды, то, что же останется? Так возникла задача: по испытаниям малой выборки изделий судить о качестве всей партии. Во время войны решением таких задач для нужд фронта занимались главным образом А.Н. Колмогоров и Б.В. Гнеденко. Они предложили использовать статистические методы текущего контроля, т.е. такую организацию производственного процесса, в которой уже при изготовлении был поставлен заслон выпуску некачественной продукции.

Как отмечает Б.В. Гнеденко: «После окончания войны выяснилось, что аналогичные исследования проводили математики США. Они подсчитали, что результаты их работы принесли за годы войны стране миллиардную экономию. То же самое можно сказать и о работе советских математиков и инженеров».

В этой связи укажем, что в США в годы второй мировой войны некоторые статистические методы были засекречены, а такой важный способ интенсификации производства стали, как использование кислорода, засекречен не был. Это говорит о том, какое большое значение придавалось прикладным математическим методам во время войны.