Н. Винер § 15. Вероятность события как математическая модель

15.1. О понятии «вероятность события»

Известно, что простейшие закономерности естествознания описываются одной из двух схем:

1) если осуществляется комплекс условий , то наступает событие ;

2) если осуществляется комплекс условий , то событие произойти не может.

В первом случае событие по отношению к комплексу условий называется достоверным, во втором – невозможным.

Например, все теоремы математики могут быть сформулированы в виде схемы 1.

Однако гораздо чаще мы сталкиваемся с такой ситуацией, в которой событие при осуществлении комплекса условий иногда происходит, а иногда не происходит. Такое событие по отношению к указанному комплексу условий называется случайным.

Когда спортсмен стреляет в мишень, то при выстреле может произойти попадание или промах при одном и том же комплексе условий (одна и та же мишень, тот же стрелок, одно и то же расстояние до мишени, та же винтовка и т. д.). Возникает вопрос: означает ли случайность события , что всякая закономерная связь между комплексом условий и событием отсутствует? Ответ: нет! Далее будет показано, что закономерности случайных событий проявляются при многократном повторении опытов.

Пусть, например, установлено, что спортсмен при данных условиях стрельбы дает 80 % попаданий. Это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при указанных выше условиях, в среднем он попадет 80 раз и значит, 20 – промахнется и в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным, пока с течением вре­мени не произойдет каких-нибудь существенных изменений, при которых стрелок повысит или понизит свою квалификацию. Опыт показывает, что у такого стрелка 80 % попаданий служит показателем его мастерства, и этот процент оказывается устойчивым, т. е. в большинстве стрельб в тех же условиях результат будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях уклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Приведём другой пример. На некотором предприятии было замечено, что в данных условиях в среднем 1,5 % изготовленных изделий оказываются не удовлетворяющими стандарту и идут в брак. Это означает, что в партии, скажем, из 1000 изделий, еще не подвергнутых браковке, будет примерно 15 непригодных. Иногда, конечно, число бракованных изделий может оказаться несколько больше, иногда несколько меньше, но в среднем это число будет близко к 15. Конечно, и здесь предполагается, что условия производства (организация технологического процесса, оборудование, сырье, квалификация рабочих и пр.) остаются неизменными.

Таких примеров, когда комплекс условий неоднозначно определяет результат, можно привести сколько угодно. Во всех этих примерах мы видим, что при однородных массовых операциях (многократная стрельба, массовое производство изделий и т. п.) процент того или другого вида важных для нас событий при данных условиях почти всегда бывает примерно одним и тем же. Можно поэтому сказать, что этот средний процент является характерным показателем соответствующей массовой операции при данных условиях. Процент попадания описывает нам мастерство стрелка, процент брака или лучше сказать процент стандартных изделий оценивает доброкачественность продукции. Знание таких показателей очень важно в самых различных областях техники, экономики, физики, химии и пр.; оно позволяет нам не только оценивать уже происшедшие массовые операции, но и предвидеть их исходы в будущем.

Если спортсмен в данных условиях стрельбы попадает в мишень в среднем 80 раз из 100 выстрелов, то мы говорим, что для этого спортсмена в указанных условиях относительная частота попадания составляет 80 % или 0,8.

Вообще, если событие в серии из независимых испытаний появилось раз, то отношение называется относительной частотой этого события в серии из испытаний, а постоянная величина, около которой относительная частота стремится стабилизироваться при , называется статистической вероятностью события и обозначается . Вероятность события – это идеализированная, теоретическая его частота (относительная). Итак, при больших значениях . Это приближённое равенство при устойчивости частот даёт нам экспериментальную оценку вероятности события .

Пусть, например, в процессе подбрасывания монеты раз каждый раз регистрируется выпадение герба. Опыт показывает, что если монета геометрически правильная и однородная, то при большом числе опытов примерно в половине из них появляется герб, т.е. , а отношение будет близким к , и потому можно считать экспериментально установленным, что в рассматриваемом процессе , т.е. это число – вероятность события «выпадение герба».

Такой же ответ мы получим, если воспользуемся классическим определением вероятности выпадения герба. В классической схеме , где – общее число всех равновозможных и несовместных исходов опыта, из которых « » соответствуют (благоприятствуют) событию . В случае монеты в математической модели опыта и = 1. Итак, уже есть два определения: статистическое и классическое. Однако это не значит, что речь идёт о различных вероятностях. Вероятность случайного события одна – это численная, количественная мера степени его объективной возможности, но она может быть вычислена в зависимости от условий задачи исходя из различных определений. В случае монеты оба определения приводят к одному и тому же результату.

При построении стохастических моделей задач не так уж редко применяется и геометрическое определение вероятности события , как отношения меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области (под мерой понимается длина, площадь или объём фигуры). При этом следует иметь в виду главное условие применимости: равновозможное появление случайного объекта в любом одинаковой меры «месте» области.