§6. О построении математических моделей, описывающих результаты экспериментов

6.1. Математическая модель прямых измерений

Классическая математика учит действиям над числами, которые заданы точно, тогда как в подавляющем большинстве случаев, величины, с которыми приходится иметь дело на практике, получают с помощью измерений и потому соответствующие им числа лишь приближенно выражают точные, но неизвестные нам значения реальных величин. Для повышения их точности стремятся сделать как можно больше измерений. Итак, требуется как можно лучше оценить «истинное значение» некоторой величины х, для чего проводится n прямых измерений, результаты которых представлены системой уравнений:

Здесь - результаты измерений, а - их ошибки.

По методу наименьших квадратов наилучшим приближенным значением для х является такое число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от , т.е. сумма квадратов ошибок :

. (6.1)

Для определения точки экстремума этой функции, как обычно, находим производную и приравниваем её к нулю , откуда

, (6.2)

поскольку – квадратный трёхчлен относительно и , то в точке экстремума функция достигает наименьшего значения.

Итак, модель (6.2) показывает, что в рассматриваемом случае метод наименьших квадратов и выбор среднего арифметического значения результатов измерений эквивалентны, что служит подтверждением практической полезности метода наименьших квадратов.

6.2. О построении математических моделей косвенных измерений

При прямых измерениях результат получается из опытных данных нескольких измерений одной и той же величины.

При косвенных измерениях результат получается на основании опытных данных прямых измерений нескольких различных величин, связанных функциональной зависимостью.

Начнем с задачи. Пусть задана электрическая цепь (рисунок 6.1). Измеряя напряжение U вольтметром, а силу тока I амперметром, можно найти сопротивление R. Результаты будут более точными и надежными, если повторим измерения несколько раз, а еще лучше – проведем измерения при нескольких различных значениях U (меняя источник тока в цепи).

Для решения задачи воспользуемся законом Ома

(6.3)

Предположим, что при таком эксперименте для определения неизвестного сопротивления R получены следующие результаты (таблица 6.1).

Рисунок 6.1 – Электрическая цепь

Таблица 6.1

I,A	0,010	0,018	0,031	0,042	0,050	0,061	0,072
U,В	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0

На основании экспериментальных данных нужно найти сопротивление .

Равенством (6.3) выражается прямая пропорциональная зависимость от . Поставим задачу в более общем виде: для функции найти такое , при котором сумма квадратов разностей между эмпирическими значениями и соответствующими значениями функции , т.е.

, (6.4)

минимальна.

Пользуясь (6.4), находим производную и приравниваем её к нулю , откуда

Если эту формулу применим к таблице (6.1), получим с двумя значащими цифрами: (Ом).

Поскольку выдача результатов расчёта связана с определенной ответственностью, целесообразно их контролировать, при этом большую пользу приносят разного рода прикидки. Учитывая, что самыми достоверными являются данные в конце таблицы, оценим с их помощью значение (Ом), что хорошо согласуется с результатом, полученным по методу наименьших квадратов.

Для функции , и определяют так, чтобы минимальной была сумма квадратов

,

для чего необходимо выполнение условий:

Откуда

Решая эту систему, находят значения параметров и .

Задача: В «Основах химии» Д.И. Менделеев приводит данные растворимости азотно – натриевой соли на 100 г воды в зависимости от температуры (таблица 6.2).

Таблица 6.2

t	0	4	10	15	21	29	36	51	68
y	66,7	71	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

и указывает, что эту зависимость можно выразить формулой . Проверьте это.

Применение метода наименьших квадратов действительно приводит к указанной формуле при тех округлениях значений коэффициентов, которые в ней приведены. Однако следует заметить, что точности данных верхней строки грубые, они не согласованы с данными нижней строки, поэтому погрешности в коэффициентах указанной формулы занижены.

Теперь прикинем результат простым расчётом. Поскольку в рассматриваемой задаче зависимость между переменными имеет вид , то при t = 0 на основании таблицы сразу оцениваем b = 66,7 ≈ 67, далее из последних табличных значений аргумента и функции, как наиболее достоверных, находим :

и формула принимает вид , коэффициенты который незначительно отличается от результата Д.И. Менделеева.

«Этот метод можно применить и к формулам другого вида, даже содержащим более одной независимой переменной и (или) любое число параметров, если эти параметры входят линейно в искомую формулу. Если это не так, то иногда оказывается возможным ввести новые переменные так, чтобы это условие было выполнено.

Приведем пример. Пусть эксперимент привел к значениям:

х =0,00; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,00;

у =0,00; 0,01; 0,03; 0,08; 0,17; 0,29; 0,45; 0,66; 0,91; 1,22; 1,57.

Изображение экспериментальных точек на миллиметровке, которое мы предоставляем сделать читателю, напоминает о степенной функции вида , в которую параметр входит нелинейно. Поэтому прологарифмируем это равенство и обозначим , , . Мы приходим к формуле , в которую параметры и входят линейно. В новых переменных таблица имеет вид

Х = -1,0000; -0,6990; -0,5229; -0,3979;- 0,3010; - 0,2218;

- 0,1549; - 0,0969; - 0,0458; 0,0000;

= - 2.0000; - 1 ,5229; -1 ,0969; -0,7696; - 0,5376; - 0,3468;

- 0,1805; - 0,0410; 0,0864; 0,1959.

Применение метода наименьших квадратов дает значения b = 2,2734, А = 0,16079, откуда а = 1,4481, и с учетом точности исходных данных мы получаем приближенную формулу Отметим, что на полученные значения параметров могут существенно повлиять погрешности при измерении малых значений у. Для повышения достоверности результата следует либо повысить точность этого измерения, либо игнорировать эти значения при применении метода» [24, с. 43].

Примечание: в цитируемом фрагменте опечатки: вместо должно быть , о чём свидетельствуют выписанные в тексте значения десятичных логарифмов чисел. Заметим также, что, если в соответствии с указанной выше рекомендацией игнорировать недостоверное значение у = 0,01, то для у получим функцию , которая с точностью до одной сотой воспроизводит всю таблицу, за исключением у = 1,57, когда это значение заменяется на 1,58.

Поскольку в значении десятичного логарифма приближенного числа сохраняют столько десятичных знаков, сколько верных значащих цифр имеет заданное число, то в таблице для и нецелесообразно иметь две запасные цифры и все значения достаточно округлить до тысячных, при этом с учётом точности исходных данных получается тот же результат: .

Мы не настолько богаты, чтобы

принимать не оптимальные решения.

Неизвестный экономист