24.2. Математические задачи

Задача 1. Найти вероятность ) по данным вероятностям: , , (Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,1998. – Задача 73).

На основании равенств

= Р(АВ) + ) и

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

имеем:

) = Р(А) – Р(АВ) = =Р(А+В) – Р(В),

т.е. результат не зависит от , значит эта информация лишняя. Удаляя её из условия, получаем более совершенную формулировку задачи и её решение. Итак, ответ: ) = с – b.

Задача 2. Найти вероятность по данным вероятностям: , , (Там же, задача 74).

Из равенства = = 1 – Р(А+В) = , т.е. результат не зависит ни от , ни от . Значит, без ущерба для дела эти данные можно удалить.

Задача 3. Разыграть пять пар возможных значений случайной величины ( ), составляющие которой независимы, зная закон её распределения:

X Y
	0,20	0,08	0,12
	0,30	0,12	0,18

У к а з а н и е. Для определённости принять при разыгрывании случайные числа: 0,98; 0,52; 0,01; 0,77; 0,67, а при разыгрывании – числа 0,11; 0,80; 0,50; 0,54; 0,31(там же, задача 715).

Найдем закон распределения составляющей :

р₁ = Р(Х = х₁) = 0,20 +0,30 = 0,50;

р₂ = Р(Х = х₂) = 0,08+0,12 = 0,20;

р₃ = Р(Х = х₃) = 0,12+0,18 = 0,30.

Проверка: 0,50 +0,20 + 0,30 = 1. Итак, закон распределения СВ имеет вид:

Х х₁ х₂ х₃

р 0,50 0,20 0,30

Аналогично находим закон распределения :

Y y₁ у₂

р 0,40 0,60

Поскольку Р((Х = х_i) (Y = у_к)) = Р(Х = х_i) Р(Y = у_к) для любых допустимых i и к, что легко проверяется, например

Р((Х = х₁) (Y = у₁)) = Р(Х = х₁) Р(Y = у₁),

так как . Значит, информация о независимости и – лишняя и удалив её, с помощью разыгрывания СВ и СВ получим ответ:

(х₃, у₁), (х₂, у₂), (х₁, у₂), (х₃, у₂), (х₂, у₁).

Задача 4. Дискретная двумерная случайная величина ( ), составляющие которой независимы, задана законом распределения:

	0,18	0,30	0,12
	0,12	0,20	0,08

Разыграть случайную величину ( ) (там же, задача 714).

Как и при решении задачи 3, показываем, что информация о независимости случайных величин и – лишняя, так как она следует из закона распределения, приведенного в условии.

Задача 5.

Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число (Задача №1108 [19]).

Ранее с помощью компьютерной программы было показано, что инфор­мация в условии "на 3" – лишняя. Приведем другое решение, для чего обозначим через и соответственно число десятков и число единиц двузначного числа, тогда двузначное число может быть записано в виде , причем – целые неотрицательные числа, для нахождения которых получим смешанную систему:

На основании того, что уравнение можно преобразовать в неравенство или , т.е. , т.е. , причем только удовлетворяет системе и при этом , а потому искомое число равно 41. Кстати, отсюда следует, что число его единиц на 3 меньше числа десятков.

Задача 6. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и остатке 6? (Задача №1151 [20]).

Эта задача уже была решена на основе построения соответствующего графика. Теперь приведём другое решение, обозначив через и соответственно число десятков и число единиц двузначного числа, тогда для нахождения неизвестных получим уравнение , где – целые числа (информация, выделенная жирным шрифтом, лишняя и поэтому исключается).

Так как это уравнение равносильно

(4х – 1 )(5-2у)=7•1 (*)

(что легко проверить, раскрыв скобки в этом равенстве, но трудно догадаться, что именно так нужно преобразовать уравнение ), причем , так как – натуральное число. Следовательно, из (*) с учётом того, что – число целое, имеем: и , т.е. и . Но проверка показывает, что при делении числа 22 на 4 неполное частное равно 5, а не 4, т.е. число 22 не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, не существует двузначное число, о котором идёт речь в задаче.