§3. Требования, предъявляемые к математической модели

При решении прикладных задач, то есть таких, условия которых содержат нематематические понятия, математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели [24, с.8], к которой предъявляется ряд требований.

3.1. Об адекватности математической модели

Одним из основных является требование адекватности, соответствия математической модели реальному объекту относительно исследуемых свойств.

В требование адекватности входит правильное как качественное, так и количественное приближённое описание моделируемых свойств объекта.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу из физики: камень бросили вертикально вверх с некоторой начальной скоростью. Через сколько времени он достигнет заданной высоты?

Что касается качественного описания рассматриваемого явления, то оно каждому знакомо: чем больше начальная скорость бросания камня, тем больше будет максимальная высота его подъёма. Если начальная скорость будет мала, чтобы камень достиг заданной высоты, то она достигнута не будет. Если же начальная скорость будет достаточно велика, то камень побывает на заданной высоте дважды: на подъёме и на спуске. Количественные ответы на эти вопросы мы получим после построения и исследования соответствующей математической модели.

В создаваемой модели сопротивлением воздуха будем пренебрегать, и ускорение свободного падения считать постоянным. Переход к математической модели задачи осуществляется так же, как и при решении любой текстовой задачи на составление уравнений, при этом каждый пользуется знаниями, полученными по физике и математике. При решении учебных задач по физике, учащийся выступает и как физик и как математик. То же можно сказать и о выполнении студенческих научных и учебных работ по химии и другим дисциплинам. Итак, введём направленную вертикально вверх координатную ось у, начало которой совместим с положением камня при . При сделанных предположениях движение камня, моделируемого материальной точкой, вдоль оси у будет определяться постоянным ускорением свободного падения (м/с²) и начальной скоростью (м/с). В этих условиях, как известно из курса физики, движение камня описывается функцией

. (3.1)

Теперь для решения сформулированной задачи обозначим через с – время, через которое камень окажется на высоте м, тогда для определения t получим на основании (3.1) уравнение или

, (3.2)

которое и является математической моделью рассматриваемой конкретной физической задачи. Этим завершается первый этап решения прикладной задачи средствами математики.

На втором этапе решаем уже математическую задачу, т. е. квадратное уравнение (3.2), в котором все величины, кроме , – параметры.

Как известно, если , т. е., eсли , то уравнение (3.2) не имеет решений. Если , т. е., eсли то уравнение (3.2) имеет одно решение . Если же , т.е., eсли то уравнение (3.2) имеет два различных решения: , .

Теперь приведём интерпретацию математического решения задачи и сформулируем ответ на языке исходной практической (физической) задачи.

Итак, отсутствие решения уравнения (3.2) при означает, что камень при такой начальной скорости не достигнет высоты h.

При решение математической задачи получает такую интерпретацию: камень окажется на высоте h дважды: поднимаясь вверх, через с, а на обратном пути, опускаясь вниз, через с.

Единственность решения уравнения (3.2) при означает, что камень достигнет высоты один раз через с, т. е. он поднимется на максимальную высоту, при этом .

Это соответствует качественному описанию, приведённому в начале: чем больше начальная скорость бросания камня, тем будет больше максимальная высота подъёма.

Подчеркнём, что нами рассмотрены все три случая, связанные с решением уравнения: решение не существует, решение единственное и решение не единственное, и все они имеют реальный физический смысл.

Отметим, что «Естественно говорить не просто об адекватности модели, но также о большей или меньшей адекватности» [24, с. 13]. Так, рассмотренная выше модель автодороги Киев – Севастополь в виде ломаной линии будет более адекватной, если между любыми двумя соседними точками излома указать ещё и расстояния. Аналогично, модель задачи, приведенной в пункте 1.4 в виде уравнения (1.1) будет более адекватной, если её описать смешанной системой, состоящей из уравнения (1.1) и неравенства (1.2).

Итак, в требование адекватности включается как правильное качественное, так и количественное описание объекта. Вместо количественной адекватности также говорят о точности математической модели. Ещё раз, но уже другими словами подчеркнём, что всякая адекватность математической модели реальному объекту относительна и имеет свои границы применимости.