7.3. Конкретная транспортная задача

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, второй – 150. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство:

Завод	Затраты на перевозку в автохозяйство, ден. ед.
	1	2
1	15	20
2	8	25

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед. Найти оптимальный план перевозки машин так, чтобы общая стоимость транспортных расходов была бы наименьшей. В таблице указаны затраты на перевозку одной машины [17, с.55].

Прежде всего, отметим неестественную постановку задачи, поскольку минимальные затраты могут и должны быть найдены из предыдущих условий. Корректная постановка рассматриваемой практической задачи, после исключения из её условия лишней количественной информации 7950 ден. ед. такая: найти оптимальный план перевозки машин так, чтобы общая стоимость транспортных расходов была бы наименьшей.

Отвечая на этот вопрос, введём обозначения количество машин, поставляемых с го завода му автохозяйству, тогда получим смешанную систему:

Из этой неопределенной системы нужно найти такие значения неизвестных, которые минимизируют суммарную стоимость перевозки.

Решение этой математической задачи можно упростить с учётом того, что все элементы математической модели являются образами соответствующих элементов текстовой задачи и на этом основании привлечь дополнительную информацию из содержательной модели, просто из текста.

Из экономических соображений приходим к выводу, что сначала надо осуществить перевозку максимального числа машин с наименьшей стоимостью перевозки одной машины 8 ден. ед. Для этого, очевидно, все 150 машин, выпущенных вторым заводом, надо направить в первое автохозяйство, т.е. , тогда из второго уравнения . Далее из системы очевидно: , . Нетрудно доказать, что этот план действительно оптимальный: если мы возьмём , то оставшиеся машины придётся перевозить по более высокой цене и общая стоимость перевозок возрастёт.

Теперь легко посчитать, что минимальная стоимость перевозки равна 7950 ден. ед.

Тот же результат мы получим, если воспользуемся соответствующей компьютерной программой.

Принцип однородности по размерностям,

который в сущности утверждает, что

разнородные величины нельзя суммировать

друг с другом, имеет важнейшее значение

для теории размерностей.

Г. Хантли

§ 8. МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

8.1. О структуре функциональной связи

Многие закономерности, устанавливаемые наукой, представляют собой функциональные зависимости между размерными (именованными) величинами, характеризующими процессы, явления или объекты, понимаемые в самом широком смысле. Это обстоятельство накладывает соответствующие ограничения на структуру функциональной связи : размерности левой и правой части равенства должны быть одинаковы. Именно этот факт [32, с. 28] во многих случаях позволяет устанавливать вид функциональной зависимости между величинами на основании анализа размерностей, с учетом того, что произведение величин с основаниями даже разных размерностей и рациональными показателями степеней может иметь физический смысл, тогда как сумма или разность величин неодинаковых размерностей смысла не имеет.