12.2. Две схемы приложения определённого интеграла

к построению математических моделей задач

Первая основана на определении определённого интеграла как предела интегральной суммы. При этом искомая величина приближённо представляется в виде интегральной суммы с последующим предельным переходом как при вычислении площади криволинейной трапеции.

При применении второй схемы предполагается существование такой дифференцируемой функции, на основании которой определяется искомая величина, для чего из условия задачи находится дифференциал (или производная) этой функции и вычислением определённого интеграла получается значение искомой величины. Подчеркнём, что в этой схеме сначала выдвигается гипотеза о существовании указанной функции, однако эта нестрогость не имеет значения, так как в каждой конкретной задаче мы эту функцию фактически находим и тем самым убеждаемся в справедливости выдвинутой гипотезы.

Задача 1.

a) Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом с поверхности земли на высоту .

b) Определить работу, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения.

При решении землю и ракету примем за материальные точки с соответствующими массами. По закону всемирного тяготения , где – коэффициент пропорциональности, – масса земли, – масса ракеты, – расстояние между материальными точками, моделирующими землю и ракету. Так как на поверхности земли радиуса (рисунок 12.2) и , то и . Обозначим через работу, которую совершает двигатель ракеты при , тогда и работа на пути от до будет равна

. (12.2)

Рисунок 12.2 – Модель сечения Земли

Теперь ясно, что для определения работы, которую должен совершить двигатель, чтобы полностью освободить ракету от земного притяжения, необходимо в интеграле (12.2) перейти к пределу при  , тогда получим

. (12.3)

Итак, работа оказалась конечной величиной, а несобственный интеграл с бесконечным пределом здесь представляет математическую модель, адекватно отражающую объективную действительность.

Задача 2. Тело массой m совершает вдоль прямой горизонтальные колебания под действием пружины (рисунок 12.3). Найти период колебаний этого тела, пренебрегая массой пружины, трением и сопротивлением среды.

Решение: ось х направим вдоль прямой колебаний, а начало координат поместим в точке равновесия (рисунок 12.3).

Рисунок 12.3 – Пружинный маятник

Для определения периода колебаний отклоним материальную точку (модель тела) вправо на расстояние и отпустим при . Поскольку , период колебаний будет

(12.4)

Сейчас для нас важно, что знаменатель подынтегральной функции при равен нулю, т. е. правая часть (12.4) является несобственным интегралом от неограниченной функции, но этот интеграл представляет собой математическую модель реальной величины – периода колебаний. Проще всего найти этот интеграл, используя физический закон сохранения энергии