20.3. О расширении горизонта в зависимости от высоты

наблюдения

Установим формулу, определяющую расширение горизонта в зависимости от высоты наблюдения.

А

h

С

R a В

O R

Рисунок 20.2– Зависимость горизонта от высоты наблюдения

Из рисунка 20.2 видно, что , по теореме Пифагора отрезок касательной значит

, т.е.

и дуга .

Эта формула справедлива для любых , в частности, для наблюдателей, находящихся на космических кораблях, причём

,

т.е. четвёртой части длины окружности радиуса R, что совпадает с наглядными представлениями.

При , т. е. .

Следовательно, при где диаметр Земного шара, высота места наблюдения, касательная к окружности большого круга, угол прямой. На основании формулы легко получается таблица 20.1: например, при = 1000(м), т.е. 1 км. (км), что с точностью до целого совпадает с табличным значением и т.д.

Задача. Можно ли с вершины Эльбруса увидеть Чёрное море и Каспийское море? [13, с.13].

Для решения этой задачи, на с. 93 указанной книги, приводится таблица данных расширения горизонта при поднятии на высоту:

Таблица 20.1

Высота м	1	2	10	20	50	100	200	1000	5000	10000
Видимость кругом м	3,6	5	11	16	25	36	50	113	252	357

(Отметим, что во второй строке таблицы опечатка: вместо «м». должно быть «км»).

Для решения этой задачи можно пользоваться формулой поскольку высота Эльбруса = 5633 (м), что во много раз меньше радиуса Земли и поэтому

= 277 (км).

Так как расстояние от Эльбруса до ближайшего берега Чёрного моря примерно равно 120 км, что значительно меньше 277 км, то с вершины Эльбруса можно увидеть Чёрное море, а Каспийское – нельзя, ибо расстояние от Эльбруса до ближайшего берега этого моря

400 км > 277 км.

20.4. О математических моделях холмов и впадин Земли

Поскольку Земля имеет шарообразную форму, её поверхность невозможно отобразить на плоскости без искажений. Однако небольшие территории можно моделировать плоскостью и изображать на листе бумаги, пренебрегая кривизной земной поверхности. Такое уменьшенное изображение небольшого участка земной поверхности называют топографическим планом. В отличие от него, топографическая карта представляет изображение в более мелком масштабе всей земной поверхности или отдельных её частей на плоскости, построенное с учётом шарообразности Земли по соответствующим математическим правилам. Если в указанной плоскости ввести декартовы координаты и , а ось направить по нормали вверх, то поверхности холма или замкнутой впадине будет соответствовать функция двух переменных , являющаяся математической моделью поверхности холма (впадины). При такой географической интерпретации функции двух переменных её линии уровня будет соответствовать горизонталь – линия на земной поверхности, все точки которой лежат на одной и той же высоте над уровнем (плоскостью ) моря.

Изображение рельефа горизонталями даёт возможность по карте решать различные задачи, возникающие, например, при проектировании дорог, водохранилищ и других инженерных сооружений. В этом математика помогает географии, а география математике, как учебной дисциплине, в интерпретации её моделей.

Символика в логике столь же

необходима, как язык формул

для математики и химии.

И.Я. Депман