16.2. Случайная величина (св) как математическая модель

Уже в модели, связанной с бросанием игральной кости, исход опыта выражался числом выпавших очков. Существует много таких задач, в которых случайный исход опыта выражается числом, являющимся значением случайной величины. Так называют величину, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно. Рассмотрим СВ «Размер обуви». Для продавца эта величина является случайной, поскольку ему заранее неизвестно, какой размер будет востребован покупателем. Эта СВ как и любая другая дискретная величина может быть представлена в виде табличной модели случайного опыта, в верхней строке которой будут записаны числа, соответствующие исходам опыта. Рассмотрим эксперимент по продаже обуви, проводимый в течение недели в стране, в результате которого будут подсчитаны количества пар обуви каждого размера из проданных за указанное время пар.

Размер обуви	…	36	37	38	…	45	…
Относительные частоты	…				…		…

Здесь – общее число пар проданной обуви, – число пар проданной обуви – го размера, – относительная частота, которая в пределе при   может быть заменена соответствующей вероятностью. Сумма всех относительных частот из нижней строки равна 1.

Такая табличная модель случайной величины «Размер обуви» имеет большое практическое значение, так как она указывает, в каких пропорциях или процентных отношениях следует наладить производство обуви необходимых размеров, чтобы были удовлетворены потребности населения.

Теперь отвлечёмся от конкретных примеров и зададим дискретную СВ таблицей

Значения СВ ,				…
Вероятности значений				…

где, – значение , – вероятность этого значения и

.

Когда указанная таблица, в которой вероятности заменены относительными частотами , моделирует массовые или многократно повторяемые опыты, естественно поставить вопрос о среднем значении СВ . Так как относительная частота значения равна , то в серии из опытов раз будет появляться , а потому

,

т.е. , аналогично и т.д. .

Сумма всех значений величины , наблюдаемых в опытах, будет

,

значит среднее значение равно найденной сумме, делённой на , т.е. , которое в пределе при , когда , совпадёт с теоретическим (идеализированным) средним значением, называемым математическим ожиданием СВ .

Итак, - математическое ожидание СВ , которое является её средним теоретическим значением.

Однако при решении многих задач недостаточно знать только математическое ожидание (МО) СВ : значения многих СВ с одним и тем же МО могут быть различным образом разбросаны, рассеяны около МО. Основными характеристиками рассеивания СВ являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение

,

где , .