4.3. О правилах действий с приближенными числами
При действиях с приближенными числами точность результата зависит от точности исходных данных и выше их быть не может.
В результате сложения и вычитания приближенных чисел, сохраняют столько десятичных знаков (цифр, расположенных справа от запятой), сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.
При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр.
В значении десятичного логарифма приближенного числа сохраняют столько десятичных знаков, сколько верных значащих цифр имеет заданное число.
Например,
;
;
lg
7,5•104
≈ 4,88.
Аналогичное правило существует для определения числа по заданному значению логарифма.
При определении числа по заданному значению десятичного логарифма сохраняют в числе столько значащих цифр, сколько верных десятичных знаков имеет мантисса логарифма.
Примеры:
(два десятичных знака),
(две
значащие цифры); lg
x
=0,0324,
х
≈
1,077.
В каждом из рассмотренных примеров количество значащих цифр числа равно количеству десятичных знаков в мантиссе логарифма [9, с. 56].
В сложных расчётах при вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой больше (т.е. иметь запасную цифру), чем рекомендуют остальные правила. В окончательном результате «запасная» цифра отбрасывается.
Правила приближенных вычислений просты, но они не могут применяться в отрыве от существенного примечания: при соблюдении этих правил можно считать, что в среднем в получаемых результатах все цифры верные, хотя в отдельных случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего разряда результата.
Правила приближенных вычислений с учётом этого примечания практически могут быть обоснованы методом применённого выше вычислительного эксперимента.
В заключение приведем пример числа, записанного в соответствии с обычным правилом: 0,05080, которое содержит 6 верных цифр, 5 десятичных знаков и 4 верных значащих цифры.
4.4. Об оценке точности решения
Для выяснения точности решения задачи в простых случаях могут использоваться правила приближенных вычислений. В сложных расчетах, которые проводятся с применением ЭВМ по заданной программе, применять указанные правила не имеет смысла. Здесь можно воспользоваться другим приемом, который продемонстрируем на простых примерах.
Вычислить
.
Этот ответ выдает микроЭВМ, но сразу
ясно, что большинство цифр в нём
сомнительны. По правилам приближенных
вычислений результат должен быть
округлен до трех значащих цифр, так как
наименьшее их количество в компонентах
равно трем. Итак, ответ: 0,321, все остальные
цифры в записи результата отбрасываются.
Теперь изменим исходные данные, в рамках их точности, до единицы последнего сохраненного разряда, тогда получим:
и
.
Цифра
0 целых во всех трех результатах совпадает
и должна быть сохранена, как надёжная.
То же самое относится и к цифре 3,
находящейся в разряде десятых и к цифре
2 – в разряде сотых. Цифра тысячных в
значении
на единицу отличается от двух других,
поэтому все следующие за тысячными
цифры отбрасываются и окончательный
результат записывается в виде 0,321, как
округленный до тысячных в ответе,
выданном ЭВМ для
.
Рассмотрим
еще менее простое выражение
,
значение которого сразу выдает микроЭВМ:
у = 3,859362. Если
пользоваться правилами, то для оценки
его точности нужно отдельно знать
значения обоих произведений и с их
помощью записать ответ: у
≈ 3,86. Однако даже в очень сложных расчетах
ЭВМ сразу выдает результат, который
можно многократно получать по заданной
программе при измененных в пределах
точности исходных данных, и по их анализу
записывать ответ с соответствующей
точностью. Применительно к нашему
примеру:
,
.
Рассуждая, как и выше, можно на основании равенства у = 3,859362 с учётом того, что две первые цифры во всех трех результатах совпадают, ответ округлить до у ≈ 3,86.
В
этих примерах мы использовали максимальные
и минимальные в рамках точности значения,
однако на практике их трудно находить,
да и не нужно. Можно наугад изменять на
(+1) или (– 1) последнюю цифру сохраненного
разряда каждого исходного данного
задачи. Например, запишем
+
,
полученные таким путем ук
можно усреднить и результат сравнить
с
.
Для этих целей может быть применен
генератор случайных чисел (цифр): при
появлении четного значения к последней
цифре сохраненного разряда соответствующего
исходного данного добавляется единица,
в противном случае единица вычитается.
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем…
Д. Чосер