§7. Оптимизационные модели

В мире не происходит ничего,

в чем не был бы виден смысл

какого-либо максимума или минимума.

Л. Эйлер

7.1. Примеры простейших задач на экстремум

История человеческого общества, так или иначе, связана с поиском наилучших, оптимальных решений, принимаемых в различных, реальных ситуациях.

При рассмотрении такого типа практических задач, как и всегда математика применяется не непосредственно к реальным объектам, а к их математическим моделям, которые в этих условиях называются оптимизационными, поскольку предназначены для нахождения оптимальных решений.

Задача. Требуется изготовить паровой котел цилиндрической формы заданного объема . Желательно, чтобы полная поверхность котла была наименьшей, так как при этом условии на его изготовление пойдет минимальное количество металла; кроме того, чем меньше поверхность котла, тем меньше он будет охлаждаться от соприкосновения с окружающей средой. Найти наилучшие размеры котла.

Обозначим радиус основания цилиндра через , а его высоту через . Тогда получим систему

(7.1)

Таким образом, мы пришли к следующей математической модели: среди всех решений смешанной системы (7.1) найти такое, при котором полная поверхность цилиндра (функция цели) принимает наименьшее значение. Подчеркнем, что в математической модели для численных значений величин обычно сохраняют обозначения самих величин, как в рассматриваемой задаче. При этом предполагается, что все величины выражены через одни и те же основные единицы: в нашей задаче – это единицы длины, например метр (м). Тогда все величины в созданной модели будут безразмерными.

Из (7.1) имеем , при этом

(7.2)

и, следовательно,

.

Приравнивая производную к нулю, из уравнения

найдем , поэтому .

При найденном функция (7.2) принимает наименьшее значение, поскольку как при очень малых, так и при очень больших значениях площадь поверхности будет большой. А так как только при одном значении , то ему и соответствует наименьшая площадь полной поверхности цилиндра.

Химическая задача. Смесь водорода и паров йода находится в замкнутом сосуде, помещенном в термостат, причем созданы условия, при которых реакция между этими веществами протекает практически необратимо. Определите начальную, объемную долю водорода (в процентах), при которой скорость реакции будет максимальной.

Сначала определим концентрацию водорода, при которой скорость реакции

(7.3)

максимальна в начальный момент времени. Для этого в соответствии с законом действующих масс: «При постоянной температуре скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ» необходимо проанализировать функцию , где – константа скорости реакции, зависящая только от температуры (и, значит, неизменная по условию задачи), а и - концентрации и - соответственно, выраженные в объемных процентах.

Поскольку х+у=100 (%), то у=100 – х и, следовательно,

v = kx(100 – х). (7.4)

Найдем значение х, при котором v имеет максимум в начальный момент времени. Для этого преобразуем функцию (7.4) следующим образом: .

Очевидно, v достигает максимума, когда выражение

,

которое не может быть положительным, обращается в нуль, поскольку слагаемое 50²k, не зависит от . Таким образом, скорость реакции максимальна при х=50 %, у=50 % (стехиометрическое соотношение реагентов ).

Определим теперь отношение , соответствующее максимуму скорости в начальный момент, при условии, что в газовой смеси помимо водорода и йода содержатся компоненты, инертные по отношению к реакции (7.3). Обозначив концентрацию последних через и учитывая, что (%), получаем:

; (7.5)

. (7.6)

Приведя, как и выше, выражение (7.6) к виду , приходим к выводу, что v достигает максимума при фиксированном , когда ; но тогда на основании (7.5), , тo есть стехиометрическое соотношение сохраняется вне зависимости от того, присутствуют ли в смеси инертные компоненты или нет. Но если при содержание водорода и йода равно 50 %, то при оно соответственно меньше.

Наконец, рассмотрим реакцию (7.3) в любой момент времени. Поскольку в условиях необратимости реакции ее продукт представляет собой инертный компонент, то и тогда максимум скорости процесса будет наблюдаться при стехиометрическом соотношении компонентов. Заметим, что полученный результат не зависит от константы скорости реакции , и поэтому вывод справедлив для любой температуры, поддерживаемой термостатом.

Подчеркнем, что знание условий, при которых реакция протекает с максимальной скоростью, позволяет осуществлять оптимальные управления химическими реакциями на производстве, добиваясь наибольшей его производительности.

Теперь рассмотрим задачу об оптимальной температуре процесса производства некоторого вещества химическим заводом [37, с.112]. Выход продукта этого вещества определяется температурой: , причём вид функции заранее не известен, он зависит от используемого сырья. Темпе­ратуру можно варьировать в определенных пределах: _. Получив очередную партию сырья, нужно найти температуру , при которой наиболее выгодно вести производство, т. е. функция достигает своего наибольшего значения.

Однако в данном случае нет никакой формулы для целевой функции . Поэтому, чтобы определить ее значение при некоторой температуре , нужно провести опыт либо в лаборатории, либо прямо в производственных условиях. Совершенно ясно, что возможно лишь конечное число измерений и каждое измерение требует времени, а задерживать производство нельзя. Значит, необходимо получить ответ на поставленный вопрос после небольшого числа измерений, т. е. по значениям функции в нескольких точках. Сравнивая эти значения, мы найдем, конечно, приближенно, температуру, при которой выход продукта будет максимальным.