§ 11. Предел и производная как математические модели

11.1. Предел как математическая модель

Сначала рассмотрим задачи из разных областей знания, связанные между собой единством необходимого для их решения метода пределов.

1. Определение длины окружности

Длину окружности можно определить как периметр вписанного в неё правильного многоугольника в процессе неограниченного увеличения числа n его сторон, т.е. .

Исходя из этого, число можно вычислить как предел при . Так, при , , при , , при , и т.д., т.е.

при .

Уже из этого примера можно сделать вывод, что сущность метода пределов заключается в следующем: чтобы определить некоторую величину , сначала находят одно её приближение , затем второе – и т. д., целый ряд, последовательность всё более точных приближений , зависящих от номера n, а потом уже точно определяют искомую величину как предел последовательности при .

2. Определение числа е

Допустим, что сумма ден. ед. положена в банк, сроком на один год, под 100% годовых. По условию вклада при определении величины конечной суммы процент (сложный) добавляется раз в году в конце каждого периода равной длительности, например, каждый месяц при . Тогда в конце первого периода величина суммы примет значение

, в конце второго периода –

и т.д. В конце - го периода, т.е. года получим: . Во время гиперинфляции число периодов может быть большим. Если , то . Ясно, что в процессе увеличения , возрастает, но при приближается к числу

, причём е  2,72.

3. Определение площади поверхности шара

Легко определить площадь боковой поверхности цилиндра с помощью её развёртки на плоскость. Для сферы такой способ неприемлем, так как развернуть сферу на плоскость нельзя.

Однако, можно объемом краски, затраченной на покраску слоем малой толщиной полусферической крыши, покрасить таким же слоем часть плоскости, площадь которой и такое приближение будет тем точнее, чем меньше . Таким образом, для площади поверхности полусферы имеем равенство

.

Для реализации этого плана рассмотрим полушар радиуса и концентрический с ним полушар радиуса , тогда объём затраченной краски будет или , а потому площадь полусферы , а всей сферы равна . Итак, исходя из объёма шара, мы нашли площадь его поверхности с помощью предельного перехода.

4. Определение вероятности события

В процессе подбрасывания монеты раз каждый раз регистрируется выпадение герба. Опыт показывает, что если монета геометрически правильная и однородная, то при большом числе опытов N примерно в половине из них появляется герб – , т.е. , а отношение будет близким к , и потому можно считать экспериментально установленным, что в рассматриваемом процессе . Это число называется вероятностью появления герба в рассматриваемом опыте.

В общем случае определение вероятности события аналогичное. Если в опытах событие появляется раз, то отношение называется относительной частотой события в опытах и в случае её устойчивости называется вероятностью события и обозначается символом .

Итак, .