13.3. Задача о форме зеркала прожектора
Найти такую форму зеркала прожектора, чтобы световые лучи, выходящие из точечного источника света после отражения образовали параллельный пучок.
Рисунок 13.2 – Осевое сечение параболического зеркала
Очевидно, что поверхность зеркала должна быть поверхностью вращения с осью, проходящей через источник света параллельно отраженным лучам. В сечении поверхности плоскостью, проведённой через ось, выберем систему координат так, чтобы источник света находился в начале координат, а отражённые лучи были параллельны оси (рисунок 13.2).
Для вывода уравнения
линии сначала составим дифференциальное
уравнение [8, с. 90], связывающее бесконечно
малые дифференциалы соответствующих
величин. Пусть
бесконечно малая дуга сечения, которую
будем моделировать (считать) прямолинейным
отрезком. Из точки
,
как из центра, проведём дугу
окружности радиусом
.
Эту дугу также будем считать прямолинейным
отрезком. Из точек
и
с абсциссами
и
опустим перпендикуляры
и
на
,
а из точки
ещё опустим перпендикуляр на прямую
до пересечения с ней в точке
.
Треугольники
и
прямоугольные с общей гипотенузой
.
Эти треугольники равны, так как равны
острые углы
,
что следует из равенства углов падения
и отражения и из равенства вертикальных
углов.
Поэтому
,
а так как
и
,
то
и
или
,
откуда имеем уравнение
,
которое показывает, что рассматриваемым сечением поверхности является парабола, и потому зеркало прожектора должно иметь форму параболоида вращения.
Итак, используя сначала зависимости, связывающие бесконечно малые изменения величин, и , авторы [8] составили совсем простое дифференциальное уравнение, из которого интегрированием получается конечное уравнение. Его также можно было вывести, воспользовавшись геометрическим смыслом производной, равной тангенсу угла наклона касательной [8, с. 59 – 60], но при этом сразу получается более сложное дифференциальное уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком производной.
В численном эксперименте можно
моделировать условия, которые
невозможно создавать в лаборатории.
А.А. Самарский, Ю.П. Попов
§14. Вычислительный эксперимент
14.1. Вычислительный эксперимент как метод познания
Наше время характеризуется широким внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности. С их появлением при решении многих задач используется метод, называемый вычислительным экспериментом.
В простейших случаях он сводится к вычислениям, связанным с перебором всех возможных вариантов из некоторого допустимого множества, отбрасыванию тех, которые не удовлетворяют условиям задачи.
Как говорил Шерлок Холмс: «То, что остается после исключения всего невозможного, истинно».
При изучении какого-либо процесса математическими методами, прежде всего, строится его математическая модель. Изменяя в ней параметры, можно оценить влияние различных факторов на поведение процесса, т. е. получить такую же богатую информацию, как и при натурных испытаниях. По существу такая работа очень близка к эксперименту, только роль экспериментальной установки выполняет ЭВМ, а вместо реального процесса исследуется его математическая модель. Именно поэтому изучение реального, физического процесса таким способом в рамках принятой модели называют вычислительным (численным) или математическим экспериментом.
Одно из его достоинств состоит в том, что он дешевле, проще и безопаснее натурного. В вычислительном эксперименте можно моделировать условия, которые еще невозможно создать в лаборатории. Конечно, вычислительный эксперимент тесно связан с натурным, поскольку математическая модель процесса строится на основе закономерностей, выявленных из опыта, она должна хорошо отражать определенные стороны физического процесса. Вычислительный и натурный эксперименты дополняют друг друга и позволяют получать новые результаты.
Проще всего разобраться в сущности вычислительного эксперимента можно, применив его к решению задач из различных дисциплин.