23.2. Применение к анализу устойчивости решений
и обусловленности задач
Если решение некоторой задачи сводится даже к системе линейных алгебраических уравнений, то известная теория построена в предположении, что все коэффициенты, включая и правые части, заданы точно. Такое предположение естественно для классической математики, но не всегда приемлемо в приложениях. Действительно, когда система моделирует связи между реальными величинами, то ее коэффициенты имеют конкретный смысл. Они часто получаются в результате измерений (прямых или косвенных) и поэтому известны приближенно. Но тогда приходится решать систему, в которой известные величины заданы приближенно.
Не так уж редко в таких случаях малые погрешности в исходных данных вызывают достаточно большие погрешности в решениях, которые таким образом оказываются практически непригодными, неустойчивыми, а соответствующие им задачи плохо обусловленными.
Конечно, при рассмотрении прикладных задач важно знать, какое решение найдено: неустойчивое или устойчивое, добротное, которое может быть использовано на практике. Ответ на этот вопрос можно получить на основе применения ЭВМ [33].
Например, решение химической задачи, взятой из журнала «Химия в школе»: «При сгорании 10,0 г смеси этанола и диэтилового эфира образовалось 12,0 г воды. Определите массы соединений в исходной смеси», сведено к системе линейных уравнений
(23.3)
и
получен ответ:
.
Ясно, что этот ответ найден в предположении,
что все коэффициенты и свободные члены
точные, тогда как сама запись: 10,0 и 12,0
свидетельствует, что эти значения
приближенные.
Для анализа обусловленности задачи целесообразно составить программу решения указанной системы и с помощью ЭВМ находить и . С этой целью, считая сначала все коэффициенты точными, введем их в ЭВМ, тогда получим:
…
....
Однако,
изменив исходные данные 10,0 и 12,0 на 0,5
единицы последнего сохраненного разряда,
воспользуемся, например, такими их
значениями соответственно: 9,95 и 12,05
(остальные коэффициенты оставлены без
изменения) и исполнив на ЭВМ программу,
получим ответ:
...
и
.... Итак, в первом случае результат был
...,
во втором случае
….
Уже это свидетельствует о том, что задача
плохо обусловлена: при допустимых
изменениях исходных данных на 0,5 единицы
последнего сохраненного разряда в
результатах для
нет ни одной устойчивой значащей цифры.
Такое решение практически непригодно.
Теперь рассмотрим задачу, условие которой приводится в методических пособиях и задачниках по химии.
Хлоропроизводное
предельного углеводорода имеет
относительную молекулярную массу 237.
Состав этого соединения следующий:
,
%. Найдите его молекулярную формулу.
Прежде
всего, исключим из условия задачи
информацию о том, что относительная
молекулярная масса соединения равна
237. Тогда, обозначив формулу через
,
в которых
и
натуральные числа и учитывая процентный
состав вещества, запишем уравнение
,
где
– относительная молекулярная масса
соединения, значения 12,01 и 35,45 –
относительные атомные массы углерода
и хлора, соответственно. Поскольку
соединение, о котором идет речь, может
быть производным как предельного
циклического углеводорода, так и
предельного углеводорода нециклического
строения, то необходимо рассмотреть
оба случая. Если предельный углеводород
циклический, то в его полностью замещенном
производном индексы связаны соотношением
,
поэтому, решая два полученных уравнения
совместно как систему, найдем
.
Значит, неизвестное соединение является
производным нециклического углеводорода,
поэтому индексы в формуле
связаны равенством
,
в котором все коэффициенты точные.
Итак,
для нахождения целочисленных неизвестных
и
имеем систему:
(23.4)
решая
которую по соответствующей программе,
найдем:
...
Но
и
– целые, значит,
.
Далее изменим, исходные данные 0,899 и 0,101 на 0,5 единицы последнего сохраненного разряда, так, чтобы их сумма равнялась 1, т.е. здесь мы будем исследовать на устойчивость решение при условии, что сумма процентных содержаний хлора и углерода в соединении равна 100 %(так называемая условная устойчивость). Взяв вместо 0,899 значение 0,8995, мы должны вместо 0,101 взять 0,1005, тогда второе уравнение системы (23.4) не изменится, а первое примет вид:
.
Теперь,
решая модифицированную систему (23.4) с
учётом того, что неизвестные величины
являются натуральными числами, вновь
получим тот же самый ответ:
,
.
Тот же результат будем иметь и при замене
на
и
на
.
Итак, решение
,
– устойчиво и
– молекулярная формула соединения.
Кстати, отсюда следует, что
(с
точностью до целого).
Ещё раз подчеркнем, что, несмотря на исключение из условий задачи относительной молекулярной массы, равной 237, задача оказалась хорошо обусловленной, а её решение – устойчивым, добротным.
Уменьшение числа аксиом
является все же достижением.
Г. Лейбниц