§ 19. Простейшие теоремы математической химии и их приложения к построению математических моделей

Как уже отмечалось, математика проникла во все области знания. Давно стали классическими такие научные и учебные дисциплины как математическая физика и математическая статистика. В ХХ веке появилось множество новых названий: математическая экономика, математическая лингвистика, математическая психология… И какую бы науку ни взять, теперь вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к её наименованию эпитета «математическая».

Что же касается «Математической химии», то такое словосочетание, по-видимому, впервые применено в работе М.В. Ломоно-сова «Элементы математической химии» (1741г.).

Теперь математика применяется не только как средство решения задач, но и, что ещё важнее, как способ формулирования химических законов и закономерностей.

19.1. Взаимно простые числа в химии

В литературе по химии можно встретить такую формулировку закона Гей-Люссака: “Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа”. Однако, например, при сгорании одного объёма бутана образуется четыре объёма оксида углерода :  → 4 , но ни одно из чисел, входящих в отношение 1 : 4, не является простым: 1 и 4 – это взаимно простые натуральные числа (напомним, что 1 – это и не простое и не составное число). Поэтому для правильной формулировки этого закона слова “простые целые” следует заменить на “взаимно простые”.

В различных химических изданиях закон кратных отношений формулируется в виде: “Если два элемента образуют между собой несколько соединений, то весовые количества одного элемента, соединяющиеся с одним и тем же весовым количеством другого, относятся между собой как небольшие целые числа”. Но рассмотрим два углеводорода и , в которых натуральное число n может быть и большим, а тогда и члены отношений

будут большими. По этой причине и в формулировке закона кратных отношений слова “небольшие целые” лучше заменить на “взаимно простые” [39, с. 78].

Отметим также, что простейшую формулу химического соединения можно определить как такую, индексы при элементах которой являются взаимно простыми числами.

Многие закономерности химии могут быть четко сформулированы в виде теорем.

19.2. Критерии алканов

Теорема 1 (Критерий 1). Углеводород с простейшей формулой – алкан в том и только в том случае, если натуральное число есть корень уравнения

. (19.1)

Действительно, если выполнены условия теоремы, то простейшая формула углеводорода должна совпадать с простейшей формулой алкана и поэтому имеет место уравнение (19.1), корнем которого будет натуральное число . Эта теорема по существу является критерием алкана.

Например, если простейшая формула углеводорода , то на основании теоремы 1, из уравнения находим натуральное число . Значит, – молекулярная формула углеводорода. Если простейшая формула углеводорода – , то на основании той же теоремы из уравнения получаем ненатуральное число n = –3. Это значит, что углеводород – не алкан.

Если простейшая формула углеводорода – , то на основании теоремы 1 из уравнения имеем 2n + 2 = 2n или 2 = 0, т.е. указанное уравнение решения не имеет. Значит и натуральное число n не является корнем этого уравнения. По той же теореме заключаем, что рассматриваемый углеводород – не алкан

Теорема 2. Если углеводород – алкан, то массовая доля углерода в нем меньше массовой доли углерода в этилене.

Действительно, записав формулу алкана в виде , получим

,

где левая часть неравенства равна массовой доле углерода в алкане, а правая – в этилене ( и соответственно относительные атомные массы углерода и водорода).

Справедлива и

Теорема 3 (обратная к теореме 2). Если массовая доля углерода в углеводороде меньше массовой доли углерода (85.7 %) в этилене, то углеводород – алкан.

Действительно, записав формулу углеводорода как и по условию теоремы 3 неравенство , из которого следует: . Но , так как число атомов водорода в молекуле любого углеводорода – четное, тогда как число при каждом натуральном – нечетное и не может быть , поскольку максимальное число атомов водорода, которые могут соединиться с атомами углерода, равно в предельном нециклическом углеводороде. Следовательно, , и – формула алкана. Теперь обе теоремы (прямую и обратную) объединим в одну. Итак,

Теорема 4 (Критерий 2). Углеводород – алкан, тогда и только тогда, когда массовая доля углерода в углеводороде меньше массовой доли (85,7 %) углерода в этилене.

Задача 1. Какова простейшая и молекулярная формула газообразного углеводорода, если массовая доля углерода равна 81,82 % и водорода – 18,18 %, а 10^-3 м³ этого углеводорода (н.у.) имеют массу 2,6·10^-3 кг? [29, с. 49].

Эта задача была решена методом вычислительного эксперимента в пункте 14.2. Здесь приведём ещё решение, основанное на теореме 3.

Учитывая, что массовая доля углерода в этилене составляет 85,7 % и 81,82 %  85,7 %, на основании теоремы 4 заключаем, что углеводород, о котором идёт речь в задаче – алкан. Поэтому его формула имеет вид _. Теперь для определения составим уравнение , из которого получаем , и так как – число натуральное, = 3. Следовательно, – молекулярная формула углеводорода, которая совпадает с его простейшей формулой.