14.2. Приложения метода к решению химических задач

Сначала рассмотрим задачу из школьного учебника [30, c. 50].

Углеводород содержит в массовых долях 0,8889 или 88,89 % углерода. Его плотность по воздуху равна 1,862. Найдите молекулярную формулу этого углеводорода, напишите формулы и названия возможных его изомеров.

Исключив из условия информацию о массовой доле углерода и отбросив цифру 2 из его плотности, запишем формулу углеводорода в виде , тогда для определения индексов и получим уравнение

, (14.1)

из которого видно, что не может быть более 4. Цифру 2 мы отбросили потому, что 29 имеет две значащие цифры, а 1 является цифрой старшего разряда приближённого числа 1,862. По этому поводу в [44, c. 379] сказано: «Есть основания не считать значащей цифрой единицу, если она является цифрой старшего разряда приближенного числа, то есть первой слева его цифрой. Принимая это правило, мы должны, например, число 12,47 считать имеющим не 4, а только 3 значащие цифры». Вычислив из уравнения (14.1) все значения при равном 1; 2; 3 и 4, получим четыре пары значений : (1;42), (2;30), (3;18), (4;6) и – формула углеводорода (из-за несоответствия валентностей других углеводородов нет). На записи формул и названий возможных изомеров не останавливаемся: они полностью определяются найденной молекулярной формулой.

Проведённые здесь вычисления могут быть автоматизированы и выполнены компьютером по соответствующей программе. Однако в результате вычислений могут быть получены и посторонние решения, а потому необходима проверка по содержанию (в нашем примере химическому) задачи.

Итак, анализ, проверка результатов исполнения программы человеком или компьютером является неотъемлемой составной частью решения задачи, без которой оно не может быть признано полноценным, даже если посторонние решения и не появились!

Теперь рассмотрим вариант алгоритма и программы вывода молекулярной формулы (МФ) углеводорода по массовой доле углерода в нём. Для этого запишем МФ углеводорода в виде и найдём связь между индексами: или

, (14.2)

где и относительные атомные массы соответственно углерода и водорода. Прежде всего, отметим, что и – натуральные числа, причём – чётное, поскольку число атомов водорода в молекуле любого углеводорода – чётное. Поэтому, начиная с и увеличивая каждый раз его величину на 2, будем получать в соответствии с (14.2) значения , которые, как правило, целыми не являются, а потому каждое значение необходимо округлить до ближайшего целого и из целых и выбрать те, для которых имеет место неравенство: , где – граница погрешности массовой доли углерода.

Поскольку в молекуле предельного углеводорода с атомами углерода связано максимальное количество атомов водорода, равное , для индексов и МФ любого углеводорода справедливо неравенство

. (14.3)

Если при всех указанных ограничениях в результате исполнения алгоритма окажется, что существует только одна пара значений и , удовлетворяющая условию задачи, то она имеет единственное решение, если не существует ни одной пары значений и , задача решения не имеет, иначе решение не однозначное.

В соответствии с этим алгоритмом запишем на языке бейсик программу МФ.

10 PRINT “ВВЕДИТЕ L, A, B, E” : INPUT L, A, B, E

20 Y = 0: T = 0: K = 0

30 Y = Y + 2

40 D = L*B*Y/(A*(1- L))

50 X = INT (D + .5)

60 IF (ABS(А*X/(A*X + B*Y) – L)> E THEN 30

70 IF Y <= 2*X+ 2 THEN T = T +1: PRINT “X = ”; X, “Y = ”; Y

80 IF T = 0 THEN PRINT “РЕШЕНИЯ НЕТ”: GOTO10

90 IF K=0 THEN K = K + 1: GOTO 30

100 IF T = 1 THEN PRINT “РЕШЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОЕ”: GOTO10

110 PRINT “РЕШЕНИЕ НЕ ОДНОЗНАЧНОЕ”: GOTO10

120 END

Задача. Какова простейшая и молекулярная формула газообразного углеводорода, если массовая доля углерода равна 81,82 % и водорода – 18,18 %, а 10^-3 м³ этого углеводорода (н.у.) имеют массу 2,6·10^-3 кг? [29, с. 49].

Исключим из условия всю информацию, кроме массовой доли углерода в углеводороде, которую округлим до 0,818. Дело в том, что последняя цифра 2 массовой доли хотя и является значащей, но надёжность её точности невелика, тогда как последняя цифра числа 0,818 будет практически достоверной. Именно поэтому, исполнив программу при = 0,818, = 0,001, (модуль погрешности = 0,818 не превосходит единицы последнего сохранённого разряда, поэтому полагаем равным 0,001), = 12,01, , получим однозначный результат: – молекулярная формула углеводорода. Ответ авторов книги: , однако, он неверный.

Дело в том, что в условии задачи величина 10^-3 м³ = 1л содержит всего одну значащую цифру, равную 1, которую «есть основания не считать значащей …» [44, с. 379].

Самое точное данное рассматриваемой задачи 81,82 % имеет четыре значащие цифры, а потому, решая задачу, исходя только из этого значения (остальные количественные данные исключаются), компьютер выдал правильный ответ! С целью контроля проверим оба результата и , для чего рассмотрим вспомогательную задачу, обратную данной.

Последняя составляется так, что в её условие включается ответ к исходной задаче, а одно или несколько имеющих высокую точность данных исходной задачи объявляются новыми неизвестными. Если в результате решения обратной задачи новые неизвестные практически совпадут с соответствующими значениями, которые даны в условии исходной задачи, то приходим к выводу, что задача решена правильно.

В условии нашей задачи самую высокую относительную точность имеет массовая доля углерода 0,8182, содержащая четыре значащие цифры. Итак, пусть – формула углеводорода. Тогда массовая доля углерода, формально найденная на основе целочисленных значений атомных масс, будет 0,8276; с помощью табличных значений относительных атомных масс , 0,8266. Оба эти числа довольно сильно отличаются от массовой доли 0,8182, содержащейся в условии исходной задачи. Значит, первый ответ (совпадающий с ответом из книги [29]) должен быть отвергнут. Уже отсюда следует, что проверка ответа – это необходимая составная часть решения задачи.

Что касается второго ответа, то массовая доля углерода в углеводороде (при целочисленных значениях относительных атомных масс элементов) полностью совпадает с соответствующим значением в условии задачи: .

Конечно, некорректно на основании целочисленных значений относительных атомных масс записывать результат в виде, как если бы в нём содержались четыре значащие цифры. В таких случаях следует, как и выше, пользоваться табличными значениями (тогда массовая доля углерода будет 81,71 %). Значит, – молекулярная формула углеводорода.

Итак, ответ, который выдал компьютер – правильный, так как он основан на массовой доле углерода, содержащей четыре значащие цифры!

Отметим, что при округлении массовой доли углерода до значения 0,82, когда = 0,01, программа выдаст оба результата: и и сообщение «РЕШЕНИЕ НЕ ОДНОЗНАЧНОЕ». Подчеркнём также, что при этом сообщении в программе не предусмотрена печать всех ответов, так как их может быть теоретически бесконечно много, например в случае простейшей формулы , когда молекулярная формула может быть любой кратности , где – натуральное число.

Приведём также пример, когда программа даёт ответ «РЕШЕНИЯ НЕТ».

При сжигании вещества, массовая доля углерода в котором равна 60 %, образуется только оксид углерода (IV) и вода. Содержит ли это вещество кислород?

Вещество, о котором идёт речь, содержит углерод, водород и возможно кислород. Допустим, что оно не содержит кислород. Тогда это – углеводород, массовая доля углерода в котором 60 %. Исполнив программу МФ при получим ответ «РЕШЕНИЯ НЕТ». Значит, вещество содержит кислород.

Подчеркнём, что математическая модель – это не только уравнение (14.2), но и дополнительные условия (в частности (14.3)), устанавливающие границы его применимости. Уравнение (14.2) – это только компонент математической модели.

Предлагаемая программа позволяет решать также задачи для полностью замещённых галогенпроизводных углеводородов и соответствующие задачи для кремневодородов. В этих случаях величине должны быть присвоены значения относительных атомных масс соответствующих элементов.

С помощью программы МФ легко обнаруживаются лишние данные (если они имеются) в условиях соответствующих задач по химии в методических руководствах, задачниках для высших и средних учебных заведений, в пособиях для поступающих в вузы, сборниках олимпиадных задач и журнальных статьях.

Эта программа может быть применена для проведения исследовательских работ на стыке таких фундаментальных дисциплин как информатика и химия. Она будет способствовать выработке навыков использования алгоритмов и ЭВМ при решении химических задач.